(a) Determine a série de Fourier para a função
f(x)=lll 0, & se -2
Faça o gráfico da série obtida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer determinar a série de Fourier para uma função específica que é 0 em certos intervalos e 1 em outros. A matéria aqui é Séries de Fourier, que nos ajuda a representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar os coeficientes da série de Fourier e aplicar as fórmulas apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o período da função. Olhando para a função , vemos que ela está definida de a , então o período é . O período é importante porque determina a base para os nossos cossenos e senos na série de Fourier.

Passo 3

Vamos calcular a frequência fundamental omega0 = 2piT = 2pi4 = pi2 , que é dada por:
Essa frequência será usada para todos os termos da série.

Passo 4

Agora, vamos lembrar da fórmula geral da série de Fourier para uma função par:
f(x) = a02 + sumn=1^infty [ an cos(nomega0 x) + bn sin(nomega0 x) ]
No nosso caso, a função é par porque , então os coeficientes serão zero.

Passo 5

Vamos calcular o coeficiente a0 = 1T integral-2^2 f(x) , dx que representa a média da função:
a0 = 14 times integral-1^1 1 , dx = 14 times (1 - (-1)) = 14 times 2 = 12
Como entre e , a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos calcular os coeficientes an = 2T integral-2^2 f(x) cos(nomega0 x) , dx :
an = 24 times integral-1^1 cos(n pi2 x) , dx = 12 times [ 2npi sin(n pi2 x) ]-1^1
Novamente, considerando que an = 12 times 2npi [ sin(npi2) - sin(-npi2) ] = 1npi [ 2 sin(npi2) ] = 2npi sin(npi2) de a :
Calculando:
Observamos que só é diferente de zero para ímpar.

Passo 7

Com os coeficientes calculados, a série de Fourier fica:
f(x) = a02 + sumn=1,3,5,dots^infty 2npi sin(npi2 x)
Substituindo f(x) = 14 + sumn=1,3,5,dots^infty 2npi sin(npi2 x) :

Resposta

A série de Fourier para a função dada é:
f(x) = 14 + sumk=0^infty 2(2k+1)pi sin((2k+1)pi2 x)
Isso significa que podemos representar a função original como a soma de senos com frequências ímpares multiplicadas por coeficientes decrescentes. O gráfico dessa série será uma aproximação da função original, ficando mais preciso conforme aumentamos o número de termos na soma.

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