Determine a série de Fourier das seguintes funções:
f(x)=ll1+x, & -1<x<0 1-x, & 0<x<1, f(x+2)=f(x).

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier da função periódica de período 2
f(x)= 1+x,&-1<x<0, 1-x,&0<x<1,
ou seja, em notação padrão com L=1, queremos
f(x)=a02+sumn=1^infty ancos(npi x)+sumn=1^infty bnsin(npi x)
O conteúdo aplicado será reconhecer paridade, usar definição de coeficientes em [-1,1] e calcular as integrais.

Passo 2

Note que, para xin(0,1), temos
f(-x)=1+(-x)=1-x=f(x),
logo f é par. Isso implica bn=0 para todo n e sobra
f(x)=a02+sumn=1^infty ancos(npi x),
com
a0=integral-1^1 f(x),dx, an=integral-1^1 f(x)cos(npi x),dx

Passo 3

Calcular a0:
a0=integral-1^0(1+x),dx+integral0^1(1-x),dx =l[x+tfracx^22r]-1^0+l[x-tfracx^22r]0^1 =(0-(-1+tfrac12))+(1-tfrac12)=tfrac12+tfrac12=1

Passo 4

Calcular an. Como f é par,
an=2integral0^1(1-x)cos(npi x),dx
Use integração por partes com u=1-x, du=-dx, dv=cos(npi x),dx, v=sin(npi x)npi.
O termo de fronteira anula e sobram
integral0^1(1-x)cos(npi x),dx =1npiintegral0^1sin(npi x),dx =-1n^2pi^2l[cos(npi)-cos0r] =1-(-1)^nn^2pi^2
Portanto
an =2cdot1-(-1)^nn^2pi^2 =2l(1-(-1)^nr)n^2pi^2

Passo 5

Note que 1-(-1)^n é zero para n par e vale 2 para n ímpar. Assim
an= 0,&n par, 4n^2pi^2,&n ímpar í
Logo a série fica
f(x) =a02+sumn=1^infty ancos(npi x) =12+sumk=0^infty4(2k+1)^2pi^2cosl((2k+1)pi xr)

Resposta

boxedf(x)=12+sumk=0^infty4(2k+1)^2pi^2cosl((2k+1)pi xr)

Exercícios relacionados