Questão 3. Determine a convergência das séries abaixo, usando o teste da integral:
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série
usando o teste da integral. Para isso, definimos a função contínua e positiva para
usando o teste da integral. Para isso, definimos a função contínua e positiva para
devemos verificar que
é decrescente em
e então comparar
com a integral imprópria
.
Passo 2
Verificamos as condições do teste da integral:
- Positividade: para
, então . - Monotonicidade:
Como para
temos
, segue
. Logo
é decrescente em
.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria
Fazendo a substituição
,
, obtemos
A integral diverge.
Passo 4
Pelo teste da integral, se
diverge e satisfaz as condições, então
também diverge.
diverge e
também diverge.
Resposta
A série
diverge.