Questão 3. Determine a convergência das séries abaixo, usando o teste da integral:
sum nn^2+1

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumn=1^infty nn^2+1
usando o teste da integral. Para isso, definimos a função contínua e positiva para x>=1
f(x)=xx^2+1,
devemos verificar que f é decrescente em [1,infty) e então comparar
sumn=1^inftyf(n) com a integral imprópria
integral1^inftyf(x),dx.

Passo 2

Verificamos as condições do teste da integral:
  1. Positividade: para x>=1, x^2+1>0 então f(x)>0.
  2. Monotonicidade:
f'(x) =(1)(x^2+1)-xcdot2x(x^2+1)^2 =1-x^2(x^2+1)^2
Como para x>1 temos 1-x^2<0, segue f'(x)<0. Logo f é decrescente em [1,infty).

Passo 3

Calculamos a integral imprópria
integral1^inftyxx^2+1,dx
Fazendo a substituição u=x^2+1, du=2x,dx, obtemos
integral1^inftyxx^2+1,dx =12integralu(1)^u(infty)duu =12l[ln ur]u=2^utoinfty =12limttoinftyln(t^2+1)-12ln2 =infty
A integral diverge.

Passo 4

Pelo teste da integral, se
integral1^inftyf(x),dx
diverge e f satisfaz as condições, então
sumn=1^inftyf(n)
também diverge.

Resposta

A série sumn=1^inftynn^2+1 diverge.

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