Transformar as seguintes equações para coordenadas polares.
hipérbole x^2a^2-y^2b^2=1

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a hipérbole
x^2a^2-y^2b^2=1
em coordenadas polares. Vamos usar as fórmulas de conversão
x = rcostheta, y = rsintheta
e obter uma relação entre r e theta.

Passo 2

Substituindo x = rcostheta e y = rsintheta na equação da hipérbole, temos
(rcostheta)^2a^2 ;-;(rsintheta)^2b^2 ;=;1

Passo 3

Fatoramos r^2 para simplificar:
r^2l(cos^2thetaa^2 - sin^2thetab^2r) = 1

Passo 4

Isolando r^2, obtemos
r^2 = 1 cos^2thetaa^2 - sin^2thetab^2 = a^2b^2,b^2cos^2theta - a^2sin^2theta,

Passo 5

Finalmente, extraindo a raiz quadrada (e escolhendo o ramo positivo para r>=0), fica
r = abraiz,b^2cos^2theta - a^2sin^2theta,,
com a condição de que o denominador seja positivo.

Resposta

r^2 = a^2b^2b^2cos^2theta - a^2sin^2theta, ou r = abraiz,b^2cos^2theta - a^2sin^2theta,

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