Questão 3. Determine a convergência das séries abaixo, usando o teste da integral:
sum2 1n ln n

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar a convergência da série
sumn=2^infty1nln n
usando o teste da integral, que compara a soma de termos positivos de uma função decrescente com a integral imprópria correspondente.

Passo 2

Definimos
f(x)=1xln x,
válida para x>=2. Observamos que f(x)>0 e que sua derivada
f'(x) = -1+ln xx^2(ln x)^2
é negativa para x>2, confirmando que f é decrescente no domínio.

Passo 3

Calculamos a integral
integral2^inftydxxln x
Com a substituição t=ln x, temos dt=dxx, e portanto
integral2^Adxxln x ;=; integralln2^ln Adtt ;=; l[ln tr]ln2^ln A ;=; ln(ln A)-ln(ln2)
À medida que Atoinfty, ln(ln A)toinfty, logo a integral diverge.

Passo 4

Pelo teste da integral, a divergência de
integral2^inftyf(x),dx
implica que a série
sumn=2^inftyf(n)
também diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados