Determine a série de Fourier das seguintes funções periódicas abaixo definidas. Estude as séries obtidas quanto à convergência.
Passo 1
O enunciado define uma função periódica de período
e pede sua série de Fourier e um estudo de convergência. Vamos usar a forma padrão em ([-2,2]]:
com
e
com
e
Passo 2
Cálculo de
a0 .
Logo a média é
Passo 3
Cálculo de
an . Como
f(x)=0 em
[-2,0] e
f(x)=2 em
(0,2) ,
Mas
Portanto
Passo 4
Cálculo de
bn .
Calculando o integral:
Logo
Isso dá
bn=0 se
n é par e
bn=tfrac4npi se
n é ímpar.
Passo 5
Reescrevendo apenas termos ímpares
n=2k-1 , a série fica
Passo 6
Convergência:
— Em cada ponto de continuidade def , a série converge para
f(x) .
— Em cada descontinuidade (por exemplo emx=0,2,dots ), converge para a média dos limites laterais, isto é
tfrac0+22=1 .
— A convergência é uniforme em qualquer intervalo fechado que não contenha pontos de descontinuidade.
— Em cada ponto de continuidade de
— Em cada descontinuidade (por exemplo em
— A convergência é uniforme em qualquer intervalo fechado que não contenha pontos de descontinuidade.
Resposta
com convergência pontual para
f(x) nos pontos de continuidade e para
1 nos pontos de descontinuidade; uniforme em intervalos sem descontinuidades.