Determine a série de Fourier das seguintes funções periódicas abaixo definidas. Estude as séries obtidas quanto à convergência.
f(x)=llc0 & se & -2 <= x<0 2 & se & 0<x<2

Passo 1

O enunciado define uma função periódica de período
e pede sua série de Fourier e um estudo de convergência. Vamos usar a forma padrão em ([-2,2]]:

com

e

Passo 2

Cálculo de a0.
a0=12integral-2^2f(x),dx =12integral0^22,dx =12times4 =2
Logo a média é
a02=1

Passo 3

Cálculo de an. Como f(x)=0 em [-2,0] e f(x)=2 em (0,2),
an =12integral0^22cosl(tfracnpi x2r),dx =integral0^2cosl(tfracnpi x2r),dx
Mas
integral0^2cosl(tfracnpi x2r),dx =[2npisinl(tfracnpi x2r)]0^2 =2npil(sin(npi)-0r)=0
Portanto
an=0forall,n>=1

Passo 4

Cálculo de bn.
bn =12integral-2^2f(x)sinl(tfracnpi x2r),dx =integral0^2sinl(tfracnpi x2r),dx
Calculando o integral:
integral0^2sinl(tfracnpi x2r),dx =[-2npicosl(tfracnpi x2r)]0^2 =-2npil(cos(npi)-cos0r) =-2npil((-1)^n-1r)
Logo
bn =2npil(1-(-1)^nr)
Isso dá bn=0 se n é par e bn=tfrac4npi se n é ímpar.

Passo 5

Reescrevendo apenas termos ímpares n=2k-1, a série fica
f(x) =1+sumk=1^infty4(2k-1)pi,sinl(tfrac(2k-1)pi x2r)

Passo 6

Convergência:
— Em cada ponto de continuidade de f, a série converge para f(x).
— Em cada descontinuidade (por exemplo em x=0,2,dots), converge para a média dos limites laterais, isto é tfrac0+22=1.
— A convergência é uniforme em qualquer intervalo fechado que não contenha pontos de descontinuidade.

Resposta

f(x) =1+4pil(sinl(tfracpi x2r) +tfrac13sinl(tfrac3pi x2r) +tfrac15sinl(tfrac5pi x2r) +cdotsr),
com convergência pontual para f(x) nos pontos de continuidade e para 1 nos pontos de descontinuidade; uniforme em intervalos sem descontinuidades.

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