Falso ou Verdadeiro? Justifique:
(a) se converge, então converge;
(b) se converge absolutamente, então converge;
(c) se converge, então converge absolutamente;
(d) se e diverge, então diverge;
(e) se e converge, então converge;
(f) se converge absolutamente, , então diverge;
(g) se e são divergentes, então é divergente;
(h) se e são convergentes, então é convergente;
(i) para todo inteiro positivo a série alternada converge.

Passo 1

O enunciado lista várias afirmações sobre séries numéricas sum an e sum bn, pedindo para decidir se cada uma é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolve:
  1. Teste do termo geral (se sum an converge, então anto0).
  2. Convergência absoluta versus condicional.
  3. Operações com séries (soma, produto termo a termo).
  4. Critério de Leibniz para séries alternadas.

Passo 2

Relembremos alguns resultados-padrão:
  1. Se sum an converge, então necessariamente limntoinftyan=0.
  2. Se sum|an| converge (convergência absoluta), então sum an também converge.
  3. A recíproca da convergência absoluta não vale: pode haver convergência condicional.
  4. A soma de duas séries convergentes é convergente. A soma de séries divergentes pode convergir (há cancelamento).
  5. O produto termo a termo de duas séries convergentes nem sempre convergirá.
  6. Critério de Leibniz: se an>=0, monótono decrescente e anto0, então sum(-1)^n an converge.

Passo 3

Analisemos as três primeiras afirmações:
(a) “Se sum an converge, então an converge.”
Pelo teste do termo geral, de fato limntoinftyan=0. Logo essa afirmação é verdadeira.
(b) “Se sum an converge absolutamente, então sum an converge.”
É exatamente a definição de convergência absoluta; portanto é verdadeira.
(c) “Se sum an converge, então sum|an| converge.”
Isto seria a recíproca da convergência absoluta e não vale em geral (ex.: série alternada de Leibniz). Logo é falsa.

Passo 4

Agora as afirmações envolvendo soma de séries divergentes e produtos:
(d) “Se sum an e sum bn divergem, então sum(an+bn) diverge.”
Contraexemplo: an=1, bn=-1. Cada série diverge, mas an+bn=0 dá soma zero. Falsa.
(e) “Se sum an e sum bn convergem, então sum(an bn) converge.”
Contraexemplo: an=bn=(-1)^n/raiz n. Cada série converge condicionalmente, mas an bn=1/n e sum1/n diverge. Falsa.
(g) “Se sum an e sum bn divergem, então sum(an bn) diverge.”
Escolha an=(-1)^n e bn=1/n. Ambas as séries divergem, mas an bn=(-1)^n/n gera série alternada convergente. Falsa.

Passo 5

Examinemos as demais operações:
(f) “Se sum an converge absolutamente e sum bn converge, então sum(an bn) diverge.”
Como (bn) converge, ela é limitada, digamos |bn|<= M. Então
sum|an bn|<= Msum|an|<infty,
logo sum an bn converge absolutamente, contradição com a afirmação. Falsa.
(h) “Se sum an e sum bn são convergentes, então sum(an+bn) é convergente.”
É a propriedade de linearidade das séries convergentes. Verdadeira.

Passo 6

Finalmente a série alternada:
(i) “Para todo inteiro positivo p, a série alternada sumn=1^infty(-1)^nn^p converge.”
Para p>0, o termo 1/n^p é decrescente e tende a zero, logo o critério de Leibniz garante convergência. Verdadeira.

Resposta

(a) Verdadeira
(b) Verdadeira
(c) Falsa
(d) Falsa
(e) Falsa
(f) Falsa
(g) Falsa
(h) Verdadeira
(i) Verdadeira

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