Falso ou Verdadeiro? Justifique:
(a) se converge, então converge;
(b) se converge absolutamente, então converge;
(c) se converge, então converge absolutamente;
(d) se e diverge, então diverge;
(e) se e converge, então converge;
(f) se converge absolutamente, , então diverge;
(g) se e são divergentes, então é divergente;
(h) se e são convergentes, então é convergente;
(i) para todo inteiro positivo a série alternada converge.
(a) se converge, então converge;
(b) se converge absolutamente, então converge;
(c) se converge, então converge absolutamente;
(d) se e diverge, então diverge;
(e) se e converge, então converge;
(f) se converge absolutamente, , então diverge;
(g) se e são divergentes, então é divergente;
(h) se e são convergentes, então é convergente;
(i) para todo inteiro positivo a série alternada converge.
Passo 1
O enunciado lista várias afirmações sobre séries numéricas
e
, pedindo para decidir se cada uma é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolve:
- Teste do termo geral (se
converge, então ). - Convergência absoluta versus condicional.
- Operações com séries (soma, produto termo a termo).
- Critério de Leibniz para séries alternadas.
Passo 2
Relembremos alguns resultados-padrão:
- Se
converge, então necessariamente . - Se
converge (convergência absoluta), então também converge. - A recíproca da convergência absoluta não vale: pode haver convergência condicional.
- A soma de duas séries convergentes é convergente. A soma de séries divergentes pode convergir (há cancelamento).
- O produto termo a termo de duas séries convergentes nem sempre convergirá.
- Critério de Leibniz: se
, monótono decrescente e , então converge.
Passo 3
Analisemos as três primeiras afirmações:
(a) “Se converge, então
converge.”
Pelo teste do termo geral, de fato . Logo essa afirmação é verdadeira.
(a) “Se
Pelo teste do termo geral, de fato
(b) “Se
converge absolutamente, então
converge.”
É exatamente a definição de convergência absoluta; portanto é verdadeira.
É exatamente a definição de convergência absoluta; portanto é verdadeira.
(c) “Se
converge, então
converge.”
Isto seria a recíproca da convergência absoluta e não vale em geral (ex.: série alternada de Leibniz). Logo é falsa.
Isto seria a recíproca da convergência absoluta e não vale em geral (ex.: série alternada de Leibniz). Logo é falsa.
Passo 4
Agora as afirmações envolvendo soma de séries divergentes e produtos:
(d) “Se e
divergem, então
diverge.”
Contraexemplo: ,
. Cada série diverge, mas
dá soma zero. Falsa.
(d) “Se
Contraexemplo:
(e) “Se
e
convergem, então
converge.”
Contraexemplo: . Cada série converge condicionalmente, mas
e
diverge. Falsa.
Contraexemplo:
(g) “Se
e
divergem, então
diverge.”
Escolha e
. Ambas as séries divergem, mas
gera série alternada convergente. Falsa.
Escolha
Passo 5
Examinemos as demais operações:
(f) “Se converge absolutamente e
converge, então
diverge.”
Como converge, ela é limitada, digamos
. Então
(f) “Se
Como
logo
converge absolutamente, contradição com a afirmação. Falsa.
(h) “Se
e
são convergentes, então
é convergente.”
É a propriedade de linearidade das séries convergentes. Verdadeira.
É a propriedade de linearidade das séries convergentes. Verdadeira.
Passo 6
Finalmente a série alternada:
(i) “Para todo inteiro positivo , a série alternada
converge.”
Para , o termo
é decrescente e tende a zero, logo o critério de Leibniz garante convergência. Verdadeira.
(i) “Para todo inteiro positivo
Para
Resposta
(a) Verdadeira
(b) Verdadeira
(c) Falsa
(d) Falsa
(e) Falsa
(f) Falsa
(g) Falsa
(h) Verdadeira
(i) Verdadeira
(b) Verdadeira
(c) Falsa
(d) Falsa
(e) Falsa
(f) Falsa
(g) Falsa
(h) Verdadeira
(i) Verdadeira