Exercício 6 Considere a função
Calcule
lim (x, y) (raiz22, raiz22) f(x, y)x^2+y^2-1
Passo 1
O enunciado define a função
e pede
O ponto alvo está na fronteira do disco
x^2+y^2=1 , então precisamos estudar o quociente vindo de dentro (
x^2+y^2<1 ) e de fora (
x^2+y^2>1 ).
Passo 2
No ponto
l(tfracraiz22,tfracraiz22r) vale
logo o denominador
x^2+y^2-1 tende a
0 . Denotemos
que satisfaz
tto0^- quando
(x,y) vem de dentro, e
tto0^+ quando vem de fora.
Passo 3
Se
(x,y) vem de dentro (
t<0 ), então
e o quociente é
Como
tto0^- faz
tfrac1tto-infty , temos
exp(tfrac1t) cai mais rápido que qualquer potência de
|t| . Portanto
Passo 4
Se
(x,y) vem de fora (
t>0 ), então
f(x,y)=0 e
Passo 5
Como ambas as aproximações (de dentro e de fora) levam o quociente a
0 , o limite buscado existe e vale
0 .
Resposta
0