Exercício 6 Considere a função
f(x, y)=l e^(1x^2+y^2-1), se x^2+y^2<1 0, se x^2+y^2 >= 1
Calcule
lim (x, y) (raiz22, raiz22) f(x, y)x^2+y^2-1

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= expl(1x^2+y^2-1r),&se x^2+y^2<1, 0,&se x^2+y^2>=1,
e pede
lim(x,y)tol(tfracraiz22,tfracraiz22r)f(x,y),x^2+y^2-1,
O ponto alvo está na fronteira do disco x^2+y^2=1, então precisamos estudar o quociente vindo de dentro ( x^2+y^2<1) e de fora ( x^2+y^2>1).

Passo 2

No ponto l(tfracraiz22,tfracraiz22r) vale
x^2+y^2=tfrac24+tfrac24=1,
logo o denominador x^2+y^2-1 tende a 0. Denotemos
t=x^2+y^2-1,
que satisfaz tto0^- quando (x,y) vem de dentro, e tto0^+ quando vem de fora.

Passo 3

Se (x,y) vem de dentro ( t<0), então
f(x,y)=expl(tfrac1tr),
e o quociente é
f(x,y)t =expl(tfrac1tr)t
Como tto0^- faz tfrac1tto-infty, temos exp(tfrac1t) cai mais rápido que qualquer potência de |t|. Portanto
limtto0^-exp(1/t)t=0

Passo 4

Se (x,y) vem de fora ( t>0), então f(x,y)=0 e
f(x,y)t=0t=0

Passo 5

Como ambas as aproximações (de dentro e de fora) levam o quociente a 0, o limite buscado existe e vale 0.

Resposta

0

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