Mostre que a função abaixo é seccionalmente contínua
f(t)=ccc 0 & se & 0 <= t<pi2 cos (t-pi2) & se & t >= pi2

Passo 1

O enunciado define a função \r
f(t)= 0, & 0 <= t<tfracpi2, cosl(t-tfracpi2r), & t>= tfracpi2, \r
e pede para mostrar que f é seccionalmente contínua. Isto significa:\r
  1. Que f é contínua em cada subintervalo aberto onde está definida por uma única expressão. \r
  2. Que existem apenas um número finito de pontos de descontinuidade de primeira espécie (saltos).

Passo 2

No intervalo [0,tfracpi2) temos \r
f(t)=0, \r
que é função constante. Funções constantes são contínuas em toda parte, logo f é contínua em [0,tfracpi2).

Passo 3

No intervalo (tfracpi2,infty) temos \r
f(t)=cosl(t-tfracpi2r) \r
Como tmapsto t-tfracpi2 é linear e cos é contínua, a composição é contínua em (tfracpi2,infty).

Passo 4

Resta checar o ponto t=tfracpi2. Calculamos os limites laterais: \r
limtto(pi/2)^-f(t) =limtto(pi/2)^-0 =0,
limtto(pi/2)^+f(t) =limtto(pi/2)^+cosl(t-tfracpi2r) =cos(0) =1 \r
Ambos os limites existem e são finitos, mas são diferentes. Isso caracteriza uma descontinuidade de primeira espécie (salto) em t=tfracpi2.

Resposta

A função f é contínua em [0,tfracpi2) e em (tfracpi2,infty) e apresenta apenas um salto finito em t=tfracpi2. Logo, f é seccionalmente (piecewise) contínua.

Exercícios relacionados