Determine a série de Fourier das seguintes funções periódicas abaixo definidas. Estude as séries obtidas quanto à convergência.
f(x)=1-x^2 se -1 <= x <= 1

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier da função periódica de período 2 dada por
f(x)=1 - x^2, -1<= x<=1
e a análise de convergência. O conteúdo é séries de Fourier em funções pares, cálculo de coeficientes an, bn e uso de critérios de convergência absoluta/uniforme.

Passo 2

Para período 2L=2 temos L=1 e a expansão
f(x)=a02+sumn=1^inftyl(ancos(npi x/L)+bnsin(npi x/L)r)
com
an=1Lintegral-L^Lf(x)cos!l(npi x/Lr),dx, bn=1Lintegral-L^Lf(x)sin!l(npi x/Lr),dx
Aqui L=1. Como f é par, todos os bn=0.

Passo 3

Calculamos
a0=integral-1^1(1 - x^2),dx =l[x-tfracx^33r]-1^1 =(1-tfrac13)-(-1+tfrac13)=tfrac43
Logo tfraca02=tfrac23.

Passo 4

Para n>=1:
an =integral-1^1(1 - x^2)cos(npi x),dx =2integral0^1(1 - x^2)cos(npi x),dx
Defina
I1=integral0^1cos(npi x),dx,
I2=integral0^1x^2cos(npi x),dx.
Observa-se I1=sin(npi)npi=0, então
an=2l(I1-I2r)=-2I2

Passo 5

Calculando I2 por partes (duas vezes) com alpha=npi obtém-se
I2 =sinalpha/alpha+2cosalpha/alpha^2-2sinalpha/alpha^3
Como sin(npi)=0 e cos(npi)=(-1)^n, vem
an =-2I2 =-2l(0+tfrac2(-1)^n(npi)^2-0r) =4(-1)^n+1n^2pi^2

Passo 6

Substituindo na série, concluímos
f(x) =23 +sumn=1^infty4(-1)^n+1n^2pi^2, cosl(npi xr)

Passo 7

Como an=O(1/n^2) e bn=0, a série de Fourier converge absolutamente e uniformemente (critério de Weierstrass) para todo x, e em cada ponto retorna o valor f(x) (a função estendida é contínua).

Resposta

boxed f(x) =23 +sumn=1^infty4(-1)^n+1n^2pi^2, cosl(npi xr),
a série converge absolutamente e uniformemente para todo x.

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