Determine a série de Fourier das seguintes funções periódicas abaixo definidas. Estude as séries obtidas quanto à convergência.
se
Passo 1
O enunciado pede a série de Fourier da função periódica de período
dada por
e a análise de convergência. O conteúdo é séries de Fourier em funções pares, cálculo de coeficientes
,
e uso de critérios de convergência absoluta/uniforme.
Passo 2
Para período
temos
e a expansão
com
Aqui
. Como
é par, todos os
.
Passo 3
Calculamos
Logo
.
Passo 4
Para
:
Defina
,
.
Observa-se , então
Observa-se
Passo 5
Calculando
por partes (duas vezes) com
obtém-se
Como
e
, vem
Passo 6
Substituindo na série, concluímos
Passo 7
Como
e
, a série de Fourier converge absolutamente e uniformemente (critério de Weierstrass) para todo
, e em cada ponto retorna o valor
(a função estendida é contínua).
Resposta
a série converge absolutamente e uniformemente para todo
.