Questão 1 (3.0 pts) Seja
, onde
.
(a) Mostre que
é um campo conservativo. Justifique;
(b) Encontre um potencial para
;
(c) Calcule
, onde Cé a curva parametrizada por
(a) Mostre que
(b) Encontre um potencial para
(c) Calcule
Passo 1
O enunciado nos dá o campo
com
com
Precisamos (a) mostrar que
é conservativo, (b) encontrar um potencial
tal que
e (c) calcular
para a curva
,
.
Passo 2
Para verificar se
é conservativo num domínio onde
, calculamos as derivadas mistas:
Como
em todo o conjunto
, que é aberto e (em cada componente
ou
) simplesmente conexo, concluímos que
é conservativo no componente que contém a curva
(ela tem
).
Passo 3
Agora buscamos
satisfying
.
Integramos em relação a :
Integramos em relação a
Usando
,
.
Também
,
e com obtemos
.
Logo
Também
e com
Logo
onde
é função a determinar.
Passo 4
Para achar
, exigimos
.
Calculamos
Calculamos
e igualamos a
. Isso dá
, ou seja,
constante. Podemos então tomar
Passo 5
Para a integral de linha, como
, vale o teorema fundamental:
Como
, temos
, logo a integral é zero.
Resposta
(a)
é conservativo porque
para
num domínio simplesmente conexo que contém a curva.
(b) Um potencial é
(b) Um potencial é
(c)