Questão 1 (3.0 pts) Seja F=P i+Q j, onde P=cos ^2(x)+x^2 y^3-y2-x e Q=x^3 y^2+ln (2-x).
(a) Mostre que F é um campo conservativo. Justifique;
(b) Encontre um potencial para F;
(c) Calcule integralC F cdot d r, onde Cé a curva parametrizada por
alpha:[0,2 pi] R^2, alpha(t)=(12+12 cos (t), 12 sen(t))

Passo 1

O enunciado nos dá o campo
F(x,y) = P(x,y),i + Q(x,y),j
com
P(x,y)=cos^2(x)+x^2y^3-y2-x,
Q(x,y)=x^3y^2+ln(2-x)
Precisamos (a) mostrar que F é conservativo, (b) encontrar um potencial phi(x,y) tal que nablaphi=F e (c) calcular integralCFcdot dvec r para a curva
alpha(t)=l(tfrac12+tfrac12cos t,tfrac12sen tr), tin[0,2pi].

Passo 2

Para verificar se F é conservativo num domínio onde xneq2, calculamos as derivadas mistas:
partial Ppartial y =3x^2y^2-12-x,
partial Qpartial x =3x^2y^2-12-x
Como partial P/partial y=partial Q/partial x em todo o conjunto (x,y)mid xneq2, que é aberto e (em cada componente x<2 ou x>2) simplesmente conexo, concluímos que F é conservativo no componente que contém a curva alpha (ela tem x(t)<=1).

Passo 3

Agora buscamos phi(x,y) satisfying
partial phipartial x=P.
Integramos em relação a x:
phi(x,y) =integrall[cos^2(x)+x^2y^3-y2-xr]dx =integralcos^2(x),dx +integral x^2y^3,dx -integraly2-x,dx
Usando cos^2(x)=tfrac12+tfrac12cos(2x),
integralcos^2(x),dx= x2+sin(2x)4.
Também
integral x^2y^3,dx=x^3y^33,
e com u=2-x obtemos
integraly2-x,dx =yln|2-x|.
Logo
phi(x,y) = x2+sin(2x)4+x^3y^33+yln(2-x)+h(y),
onde h é função a determinar.

Passo 4

Para achar h(y), exigimos
partial phipartial y=Q.
Calculamos
partial phipartial y =x^3y^2+ln(2-x)+h'(y)
e igualamos a Q=x^3y^2+ln(2-x). Isso dá h'(y)=0, ou seja, h(y)=C constante. Podemos então tomar
phi(x,y) = x2+sin(2x)4+x^3y^33+yln(2-x)

Passo 5

Para a integral de linha, como F=nablaphi, vale o teorema fundamental:
integralCvec Fcdot dvec r =phil(alpha(2pi)r)-phil(alpha(0)r)
Como alpha(0)=l(1,0r)=alpha(2pi), temos
phi(alpha(2pi))=phi(alpha(0)), logo a integral é zero.

Resposta

(a) F é conservativo porque partial P/partial y=partial Q/partial x para xneq2 num domínio simplesmente conexo que contém a curva.
(b) Um potencial é
phi(x,y) = x2+sin(2x)4+x^3y^33+yln(2-x)
(c)
integralCFcdot dvec r=0

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