Determine a Série de Fourier trigonométrica da forma de onda quadrada nas duas variações apresentadas, esboçando os respectivos espectros de frequência com no mínimo as quatro primeiras componentes. Comente os resultados. (6ptos.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Série de Fourier para uma onda quadrada. A questão pede para determinar a Série de Fourier trigonométrica de uma onda quadrada em duas variações diferentes, além de esboçar os espectros de frequência com pelo menos as quatro primeiras componentes e comentar os resultados. Para isso, vamos precisar entender como decompor uma função periódica em uma soma de senos e cossenos usando as fórmulas que o enunciado nos deu.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma onda quadrada é uma função que alterna entre dois valores constantes, geralmente +A e -A, de forma simétrica ao redor do eixo horizontal. Para encontrar a Série de Fourier dessa onda, precisamos calcular os coeficientes $ a_0 $, $ a_n $ e $ b_n $ usando as integrais fornecidas.
Passo 3
Vamos começar calculando o coeficiente $ a_0 $. Esse coeficiente representa a média da função ao longo de um período. A fórmula é:
Como a onda quadrada é simétrica em torno de zero, a média $ a_0 $ será zero.
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes $ a_n $. Esses coeficientes estão relacionados aos termos de cosseno na Série de Fourier. A fórmula é:
Para a onda quadrada simétrica, ela é uma função ímpar, o que faz com que todos os coeficientes $ a_n $ sejam zero, já que a integral de uma função ímpar multiplicada por uma função par (como o cosseno) resulta em zero.
Passo 5
Vamos então calcular os coeficientes $ b_n $, que estão relacionados aos termos de seno na Série de Fourier:
Como a onda quadrada é ímpar, os coeficientes $ b_n $ serão diferentes de zero apenas para os termos ímpares (n=1,3,5,…). Isso ocorre porque a multiplicação de duas funções ímpares resulta em uma função par, que não zera a integral.
Passo 6
Calculando os $ b_n $ específicos para a onda quadrada, encontramos que:
E $ b_n = 0 $ para $ n $ par. Portanto, a Série de Fourier da onda quadrada fica:
Isso significa que apenas os harmônicos ímpares aparecem na série.
Passo 7
Agora, vamos esboçar o espectro de frequência com as quatro primeiras componentes. Os primeiros quatro harmônicos ímpares são n=1,3,5,7. Então, os coeficientes $ b_n $ serão:
No espectro de frequência, isso se traduz em picos nas frequências $ \omega $, $ 3\omega $, $ 5\omega $ e $ 7\omega $ com amplitudes decrescentes conforme o inverso do número harmônico.
Passo 8
Comentando os resultados, vemos que a onda quadrada é composta apenas por harmônicos ímpares, o que dá uma estrutura harmônica rica e faz com que a forma de onda seja bem aproximada conforme adicionamos mais termos à Série de Fourier. As componentes de maior frequência têm menor amplitude, o que contribui para a aproximação mais suave da onda quadrada.
Resposta
A Série de Fourier trigonométrica da onda quadrada é dada por:
O espectro de frequência apresenta picos nas frequências $ \omega $, $ 3\omega $, $ 5\omega $ e $ 7\omega $ com amplitudes $ \frac{4A}{\pi} $, $ \frac{4A}{3\pi} $, $ \frac{4A}{5\pi} $ e $ \frac{4A}{7\pi} $ respectivamente. Isso mostra que a onda quadrada é composta apenas por harmônicos ímpares, com amplitudes que diminuem conforme aumenta a frequência dos harmônicos.