Calcule:
integral x cos ^4(x^2) d x

Passo 1

A integral é integral xcos^4(x^2),dx. O conteúdo envolve substituição simples e redução de potência de cosseno.

Passo 2

Vamos usar a substituição u = x^2. Então du = 2x,dx, ou seja, x,dx = 12,du. Logo a integral fica
integral xcos^4(x^2),dx = 12integral cos^4(u),du

Passo 3

Precisamos então integrar cos^4(u). Aplicamos a fórmula de redução de potência
cos^4(u) = 3 + 4cos(2u) + cos(4u)8

Passo 4

Substituindo na integral, temos
12integral cos^4(u),du = 12integral 3 + 4cos(2u) + cos(4u)8,du = 116integral l(3 + 4cos(2u) + cos(4u)r),du

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
integral 3,du = 3u,
integral 4cos(2u),du = 4cdotsin(2u)2 = 2sin(2u),
integral cos(4u),du = sin(4u)4

Passo 6

Juntando,
116l(3u + 2sin(2u) + tfrac14sin(4u)r) + C = 3u16 + sin(2u)8 + sin(4u)64 + C

Passo 7

Voltando à variável original x, lembrando que u = x^2:
integral xcos^4(x^2),dx = 3x^216 + sinl(2x^2r)8 + sinl(4x^2r)64 + C

Resposta

3x^216 + sin(2x^2)8 + sin(4x^2)64 + C

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