Um sistema massa-mola sem força externa é composto por uma massa de 1 kg , uma mola com constante de elasticidade igual 1 N / m em um meio em que a constante de amortecimento é igual a 2 N.s/m. Determine:
a) A solução geral desse problema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema massa-mola sem força externa. Temos uma massa de 1 kg ligada a uma mola com constante de elasticidade de e um meio com constante de amortecimento de . O que precisamos fazer aqui é encontrar a solução geral desse sistema, ou seja, a equação que descreve o movimento da massa ao longo do tempo. Vamos usar conceitos de física de osciladores harmônicos amortecidos e resolver uma equação diferencial para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação do movimento para um sistema massa-mola com amortecimento. A segunda lei de Newton nos dá:
m d^2xdt^2 + c dxdt + k x = 0
Onde:
  • é a massa (1 kg)
  • é a constante de amortecimento (2 N·s/m)
  • é a constante da mola (1 N/m)
  • é a posição da massa em função do tempo

Passo 3

Substituindo os valores dados na equação:
1 cdot d^2xdt^2 + 2 cdot dxdt + 1 cdot x = 0
Simplificando, temos:
d^2xdt^2 + 2 dxdt + x = 0
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 4

Para resolver essa equação, assumimos uma solução da forma lambda^2 e^lambda t + 2 lambda e^lambda t + e^lambda t = 0 . Substituindo na equação, temos:
lambda^2 + 2 lambda + 1 = 0
Dividindo por (que nunca é zero), ficamos com a equação característica:

Passo 5

Resolvendo a equação característica usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, lambda = -2 pm raiz4 - 42 = -2 pm 02 = -1 , e , então:
Como a raiz é repetida ( ), temos uma solução geral com essa multiplicidade.

Passo 6

Quando a equação característica tem raízes iguais, a solução geral é:
x(t) = (C1 + C2 t) e^lambda t
Substituindo x(t) = (C1 + C2 t) e^-t :
Onde e são constantes que seriam determinadas pelas condições iniciais do problema.

Resposta

A solução geral do sistema massa-mola é:
x(t) = (C1 + C2 t) e^-t
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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