Um sistema massa-mola sem força externa é composto por uma massa de 1 kg , uma mola com constante de elasticidade igual
em um meio em que a constante de amortecimento é igual a 2 N.s/m. Determine:
a) A solução geral desse problema.
a) A solução geral desse problema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema massa-mola sem força externa. Temos uma massa de 1 kg ligada a uma mola com constante de elasticidade de
e um meio com constante de amortecimento de
. O que precisamos fazer aqui é encontrar a solução geral desse sistema, ou seja, a equação que descreve o movimento da massa ao longo do tempo. Vamos usar conceitos de física de osciladores harmônicos amortecidos e resolver uma equação diferencial para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação do movimento para um sistema massa-mola com amortecimento. A segunda lei de Newton nos dá:
Onde:
-
é a massa (1 kg) -
é a constante de amortecimento (2 N·s/m) -
é a constante da mola (1 N/m) -
é a posição da massa em função do tempo
Passo 3
Substituindo os valores dados na equação:
Simplificando, temos:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 4
Para resolver essa equação, assumimos uma solução da forma
. Substituindo na equação, temos:
Dividindo por
(que nunca é zero), ficamos com a equação característica:
Passo 5
Resolvendo a equação característica usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
, então:
Como a raiz é repetida (
), temos uma solução geral com essa multiplicidade.
Passo 6
Quando a equação característica tem raízes iguais, a solução geral é:
Substituindo
:
Onde
e
são constantes que seriam determinadas pelas condições iniciais do problema.
Resposta
A solução geral do sistema massa-mola é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.