Determine se a série geométrica abaixo converge ou diverge. Se convergir, encontre a soma da série.
sumn=1^+infty 4(15)^n-1

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série geométrica sumn=1^+infty4l(tfrac15r)^n-1 converge ou diverge, e, em caso de convergência, calcular a soma. O conteúdo é séries infinitas, mais especificamente séries geométricas, e vamos usar o critério de convergência e a fórmula da soma.

Passo 2

Para séries geométricas da forma sumn=1^+inftya,r^n-1, identificamos o primeiro termo a e a razão r. Aqui temos a=4 e r=tfrac15.

Passo 3

O critério de convergência diz que a série converge se, e somente se, |r|<1. Como l|tfrac15r|=tfrac15<1, concluímos que a série converge.

Passo 4

A soma de uma série geométrica convergente é dada por S=a1-r Substituindo a=4 e r=tfrac15, temos S=41-tfrac15=4tfrac45=5

Resposta

A série converge e sua soma é 5.

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