Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série é convergente ou divergente e, se for convergente, calcular a sua soma. A série dada é
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Também é visível que a razão dentro da potência é
, que é um número entre
e
.
Passo 2
Apresento um teste simples e fundamental para séries infinitas: o teste da divergência (ou teste do termo geral). Ele diz o seguinte:
Explicando por que isso faz sentido, de um jeito intuitivo: se a soma parcial
tende a um número finito quando
, as diferenças consecutivas
devem tender a zero. Logo, um requisito necessário (mas não suficiente) para convergência é que o termo geral tenda a zero. Se não tende a zero, a série não pode convergir.
Passo 3
Vamos calcular o limite do termo geral
. Primeiro calculemos a potência:
porque para qualquer razão
com
temos
quando
. Aqui
, então a propriedade se aplica. Agora use isso em
:
Portanto o termo geral não tende a zero; tende a
.
Passo 4
Aplicando o teste da divergência: como
, concluímos que a série
é divergente. Não faz sentido calcular soma finita porque a soma não converge.
Resposta
A série diverge, pois
.