Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+\left(\frac{2}{3}\right)^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série é convergente ou divergente e, se for convergente, calcular a sua soma. A série dada é
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+\left(\frac{2}{3}\right)^{n}}.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
a_n=\frac{1}{1+\left(\frac{2}{3}\right)^{n}}\quad\text{(termo geral)}.
Também é visível que a razão dentro da potência é \frac{2}{3}, que é um número entre 0 e 1.

Passo 2

Apresento um teste simples e fundamental para séries infinitas: o teste da divergência (ou teste do termo geral). Ele diz o seguinte:
\text{Se } \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 \text{, então } \sum_{n=1}^\infty a_n \text{ diverge.}ã
Explicando por que isso faz sentido, de um jeito intuitivo: se a soma parcial S_N=a_1+\dots+a_N tende a um número finito quando N\to\infty, as diferenças consecutivas S_N-S_{N-1}=a_N devem tender a zero. Logo, um requisito necessário (mas não suficiente) para convergência é que o termo geral tenda a zero. Se não tende a zero, a série não pode convergir.

Passo 3

Vamos calcular o limite do termo geral a_n. Primeiro calculemos a potência:
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}=0,
porque para qualquer razão r com |r|<1 temos r^{n}\to 0 quando n\to\infty. Aqui |\tfrac{2}{3}|<1, então a propriedade se aplica. Agora use isso em a_n:
\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\left(\frac{2}{3}\right)^{n}} = \frac{1}{1+0}=1.
Portanto o termo geral não tende a zero; tende a 1.

Passo 4

Aplicando o teste da divergência: como \lim_{n\to\infty} a_n = 1 \neq 0, concluímos que a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+\left(\frac{2}{3}\right)^{n}}
é divergente. Não faz sentido calcular soma finita porque a soma não converge.

Resposta

A série diverge, pois \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{1+\left(\frac{2}{3}\right)^{n}}=1\neq 0.

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