Questão 1. Resolva os seguintes sistemas:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema de equações diferenciais
Informações dadas que vamos usar:
- São duas equações de primeira ordem em
e . - Os coeficientes são constantes (números).
- Não foram fornecidas condições iniciais, então buscamos a solução geral com constantes arbitrárias.]
Passo 2
Escrevemos o sistema numa forma matricial, que é mais compacta e facilita aplicar métodos gerais. Defina o vetor
Então o sistema pode ser escrito como
onde a matriz
é a matriz dos coeficientes lida a partir do sistema:
Explicação curta do que isso significa: cada componente da derivada é uma combinação linear das componentes do vetor
com os coeficientes de
. Nosso objetivo é encontrar todas as funções
que satisfazem essa igualdade.]
Passo 3
Escolha do método. Há dois caminhos naturais:
- Método geral por autovalores/autovetores da matriz
(funciona sempre para matrizes diagonalisáveis). - Um truque mais direto de mudança de variáveis (soma e diferença) que diagonaliza
de forma intuitiva porque tem estrutura simétrica com coeficientes fora da diagonal iguais.
Vou apresentar primeiro o método por autovalores/autovetores (é o método padrão e ensina conceitos úteis), e depois mostro o truque da soma/diferença como atalho e verificação.
Passo 4
Método dos autovalores — calcule o polinômio característico de
. Esse polinômio é dado por
. Então
Desenvolvendo:
Fatorando:
Portanto os autovalores são
Passo 5
Agora encontramos os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para
resolvemos
, isto é
A equação
dá
. Podemos escolher um autovetor conveniente
Para
temos
A equação
dá
. Um autovetor conveniente é
Passo 6
Construção da solução geral a partir dos autovalores e autovetores. Para um sistema
com autovalores
e autovetores
, cada termo
é solução, e a combinação linear de soluções é solução. Assim a solução geral é
onde
e
são constantes arbitrárias (determinam a solução conforme condições iniciais). Extraindo componentes:
Breve explicação: cada autovetor define uma direção no espaço das incógnitas que evolui apenas por um fator exponencial
; combinar direções cobre todas as possibilidades iniciais quando os autovetores formam base (aqui formam).]
Passo 7
Verificação e atalho (método soma/diferença). Defina as combinações
Diferenciando e usando o sistema original:
- Para
:
Logo
, que é uma ODE simples cuja solução geral é
com constante
.
- Para
:
Logo
e
com constante
.
Recuperando
e
a partir de
e
:
Se definirmos
e
obtemos exatamente as expressões achadas pelo método de autovalores:
Esse atalho é útil na prova: ao ver uma matriz com a estrutura
ou similar, experimentar soma/diferença frequentemente diagonaliza o sistema rapidamente.
Passo 8
Observações finais (úteis para a prova):
- Ambas as exponenciais têm expoentes negativos (
e ), então todas as soluções tendem a zero quando (sistema estável). - Se houver condições iniciais
, basta substituir nas expressões e resolver o sistema linear para e .