Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule a sua soma.
sumn=0^infty (2)^n-15^n

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série sumn=0^infty 2^n-15^n é convergente e, se sim, calcular sua soma. O conteúdo envolve séries geométricas e a fórmula da soma S=a1-r.

Passo 2

Reescrevendo o termo geral para identificarmos a forma a,r^n:
2^n-15^n = 12 cdot 2^n5^n = 12 l(25r)^n
Aqui temos a=12 e r=25.

Passo 3

Verificamos a convergência analisando |r|<1. Como l|tfrac25r|=0,4<1, a série é convergente.

Passo 4

Como é convergente, aplicamos a fórmula da soma de série geométrica:
S = a1-r = tfrac121-tfrac25 = tfrac12tfrac35 = 12 cdot 53 = 56

Resposta

A série é convergente e sua soma é tfrac56.

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