Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty pi^n3^n+1

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: temos a série geométrica de termos
pi^n3^n+1 e queremos saber se ela converge ou diverge, e em caso de convergência calcular a soma. Para isso, precisamos identificar a razão r e aplicar o critério |r|<1.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral de forma a evidenciar a razão de uma série geométrica. Note que
pi^n3^n+1=13;pi^n3^n=13(pi3)^n
Assim, é uma série geométrica com fator comum (razão) r=pi3.

Passo 3

Aplicamos o critério de convergência para séries geométricas: ela converge se, e somente se, |r|<1. Aqui temos
|r|=|pi3|>1,
pois piapprox3,14. Logo, a série é divergente e não possui soma finita.

Resposta

A série é divergente, pois l|tfracpi3r|>1.

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