Determine uma série geométrica cuja soma é 6 e tal que cada termo seja igual 4 vezes a soma do todos os termos que o sucedem.

Passo 1

Somos convidados a encontrar uma série geométrica infinita cuja soma total é 6 e que satisfaça a condição de que cada termo iguala quatro vezes a soma dos termos que o sucedem. Vamos usar a fórmula da soma de uma PG infinita e a expressão da soma da “cauda” a partir de um termo qualquer.

Passo 2

Aplicamos a condição de que o k-ésimo termo vale 4 vezes a soma dos termos após ele. O k-ésimo termo é
a r^k-1
e a soma dos termos que o sucedem é
a r^k1-r
Logo impomos
a r^k-1 = 4 cdot a r^k1-r
Simplificando (assumindo a e r^k-1 não nulos) obtemos
1 = 4r1-r
Resolvendo para r:
1-r = 4r implies 5r = 1 implies r = 15

Passo 3

Com r = tfrac15 em mãos, usamos a soma total S = 6 na fórmula da soma da PG infinita:
6 = a1 - tfrac15 = atfrac45
Daí
a = 6 cdot 45 = 245

Passo 4

Portanto a série geométrica procurada tem primeiro termo a = tfrac245 e razão r = tfrac15. Seus termos são:
245,;2425,;24125,;dots

Resposta

Uma série geométrica com primeiro termo a = 245 e razão r = 15, ou seja, tfrac245,;tfrac2425,;tfrac24125,;dots.

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