Determine uma série geométrica cuja soma é 6 e tal que cada termo seja igual 4 vezes a soma do todos os termos que o sucedem.
Passo 1
Somos convidados a encontrar uma série geométrica infinita cuja soma total é 6 e que satisfaça a condição de que cada termo iguala quatro vezes a soma dos termos que o sucedem. Vamos usar a fórmula da soma de uma PG infinita e a expressão da soma da “cauda” a partir de um termo qualquer.
Passo 2
Aplicamos a condição de que o k-ésimo termo vale 4 vezes a soma dos termos após ele. O k-ésimo termo é
e a soma dos termos que o sucedem é
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Simplificando (assumindo
Resolvendo para
:
Passo 3
Com
em mãos, usamos a soma total
na fórmula da soma da PG infinita:
Daí
Passo 4
Portanto a série geométrica procurada tem primeiro termo
e razão
. Seus termos são:
Resposta
Uma série geométrica com primeiro termo
e razão
, ou seja,
.