Para quais valeres de
cada série é convergente?
Passo 1
O enunciado pede pra estudar a série alternada
. O conteúdo principal é o teste de Leibniz para convergência condicional de séries alternadas, e pra ver convergência absoluta vamos usar o teste da integral.
Passo 2
Definimos
. Note que para qualquer
temos
e, como
, dá pra ver que
block::
[\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{(\ln n)^p}{n}=0]
block::
[\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{(\ln n)^p}{n}=0]
Passo 3
Agora precisamos checar que
é monotonicamente decrescente a partir de algum
. Considere a função contínua
. Sua derivada é
block::
[f’(x)=\frac{(\ln x)^{p-1}(p-\ln x)}{x^2}]
Como pra temos
, segue
nesse intervalo. Então a sequência é decrescente a partir de
.
block::
[f’(x)=\frac{(\ln x)^{p-1}(p-\ln x)}{x^2}]
Como pra
Passo 4
Pelo critério de Leibniz, como
e
é eventualmente decrescente, a série alternada converge condicionalmente para todo
.
Passo 5
Para ver convergência absoluta, examinamos
block::
[\sum_{n=2}\infty|(-1){n+1}\tfrac{(\ln n)p}{n}|=\sum_{n=2}\infty\frac{(\ln n)^p}{n}.]
Usando o teste da integral com , temos
block::
[\int_{2}^{\infty}\frac{(\ln x)p}{x},dx=\int_{\ln2}{\infty}t^p,dt,]
que converge sse .
Logo, o somatório absoluto converge só para e diverge para
.
block::
[\sum_{n=2}\infty|(-1){n+1}\tfrac{(\ln n)p}{n}|=\sum_{n=2}\infty\frac{(\ln n)^p}{n}.]
Usando o teste da integral com
block::
[\int_{2}^{\infty}\frac{(\ln x)p}{x},dx=\int_{\ln2}{\infty}t^p,dt,]
que converge sse
Logo, o somatório absoluto converge só para
Resposta
A série alternada converge (condicionalmente) para todo
. Ela converge absolutamente se, e somente se,
.