Para quais valeres de p cada série é convergente?
sumn=2^infty(-1)^n+1 (ln n)^pn

Passo 1

O enunciado pede pra estudar a série alternada sumn=2^infty(-1)^n+1(ln n)^pn. O conteúdo principal é o teste de Leibniz para convergência condicional de séries alternadas, e pra ver convergência absoluta vamos usar o teste da integral.

Passo 2

Definimos an=(ln n)^pn. Note que para qualquer pinR temos an>0 e, como ln n=o(n^epsilon), dá pra ver que
block::
[\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{(\ln n)^p}{n}=0]

Passo 3

Agora precisamos checar que (an) é monotonicamente decrescente a partir de algum N. Considere a função contínua f(x)=(ln x)^px. Sua derivada é
block::
[f’(x)=\frac{(\ln x)^{p-1}(p-\ln x)}{x^2}]
Como pra x>e^p temos ln x>p, segue f'(x)<0 nesse intervalo. Então a sequência é decrescente a partir de N=lceil e^prceil+1.

Passo 4

Pelo critério de Leibniz, como anto0 e an é eventualmente decrescente, a série alternada converge condicionalmente para todo pinR.

Passo 5

Para ver convergência absoluta, examinamos
block::
[\sum_{n=2}\infty|(-1){n+1}\tfrac{(\ln n)p}{n}|=\sum_{n=2}\infty\frac{(\ln n)^p}{n}.]
Usando o teste da integral com t=ln x, temos
block::
[\int_{2}^{\infty}\frac{(\ln x)p}{x},dx=\int_{\ln2}{\infty}t^p,dt,]
que converge sse p<-1.
Logo, o somatório absoluto converge só para p<-1 e diverge para p>=-1.

Resposta

A série alternada converge (condicionalmente) para todo pinR. Ela converge absolutamente se, e somente se, p<-1.

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