1. Determine se a série harmônica \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} converge ou diverge.
Conhecida: diverge pelo teste da integral: \lim _{M \rightarrow \infty} \int^{M} \frac{d x}{x}=\lim _{M \rightarrow \infty} \ln M=\infty
Resposta: diverge.

Passo 1

O enunciado dá a série harmônica e pede para determinar se ela converge ou diverge. Informações fornecidas:
  • Série: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}.
  • Comentário conhecido: o teste da integral aplicado a f(x)=\dfrac{1}{x} mostra \displaystyle \lim_{M\to\infty}\int_{1}^{M}\frac{dx}{x}=\lim_{M\to\infty}\ln M=\infty.
O que se pede:
  • Determinar se a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n} converge ou diverge.

Passo 2

Conceito essencial (o que significa convergir/ divergir): para uma série numérica \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n definem-se as somas parciais
S_N=\sum_{n=1}^{N} a_n.
A série converge se a sequência (S_N)_{N\ge1} tem limite finito quando N\to\infty; caso contrário, dizemos que a série diverge (por exemplo, quando S_N\to\infty). Aqui a_n=\dfrac{1}{n} e queremos estudar o comportamento de
S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}.

Passo 3

Método elementar (agrupamento) — ideia e justificativa passo a passo.
  1. Vamos agrupar os termos da série em blocos de tamanho que dobrem a cada passo. Escrevemos a soma como
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} = \left(\frac{1}{1}\right) + \left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right) + \cdots.
  1. Observe a estrutura: o k-ésimo bloco (para k\ge1) tem 2^{k-1} termos. Mais precisamente:
  • Bloco 1: termos com n=1 (tamanho 1=2^{0}).
  • Bloco 2: termo com n=2 (tamanho 1=2^{0} neste enfileiramento inicial; mas a ideia formal a seguir funciona adotando os blocos a partir de n=1 adequadamente).
  • A partir daí, para ilustrar a técnica padrão, considere os blocos (a partir do terceiro escrito acima) de forma que o bloco k (para k\ge1) contenha os termos com índices
n=2^{k-1}+1,\;2^{k-1}+2,\;\dots,\;2^{k}.
Esse bloco tem exatamente 2^{k-1} termos.
  1. Em cada um desses blocos todos os termos são maiores ou iguais ao último termo do bloco. No bloco com índices de 2^{k-1}+1 até 2^{k} o maior índice é 2^{k}, então cada termo aí satisfaz
\frac{1}{n}\ge\frac{1}{2^{k}}\quad\text{para todo }n\text{ no bloco}.
Portanto a soma de todos os 2^{k-1} termos desse bloco é pelo menos
2^{k-1}\cdot\frac{1}{2^{k}}=\frac{1}{2}.
  1. Conclusão do agrupamento: além dos primeiros termos iniciais, cada bloco a partir de certa posição contribui com pelo menos \dfrac{1}{2}. Assim, os somatórios parciais crescem pelo menos como
S_{N}\ge 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots
ou seja, à medida que acrescentamos mais blocos obtemos uma soma parcial que excede 1+\frac{m}{2} depois de m blocos. Como 1+\dfrac{m}{2}\to\infty quando m\to\infty, segue que S_N\to\infty. Logo a série diverge.
Comentário rápido para fixar a intuição: a soma de cada bloco não tende ao zero rápido o suficiente (cada bloco mantém pelo menos \tfrac{1}{2}), então não há como a soma total permanecer limitada.

Passo 4

Método via teste da integral (alternativa, clássico e também usado em provas) — enunciado do teste e aplicação.
  1. Enunciado do teste da integral (forma usada aqui): seja f:[1,\infty)\to(0,\infty) uma função positiva, contínua e monotonicamente decrescente. Então a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f(n) converge se, e somente se, a integral imprópria \displaystyle \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx converge. Mais fraco, se a integral diverge então a série diverge.
  2. Aplicação ao caso f(x)=\dfrac{1}{x}:
  • f é positiva para x\ge1.
  • f é contínua em [1,\infty).
  • f é decrescente pois f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}<0 para x>0.
  1. Calcule a integral imprópria:
\int_{1}^{M}\frac{dx}{x}=\left[\ln x\right]_{1}^{M}=\ln M-\ln 1=\ln M.
Fazendo M\to\infty obtemos \displaystyle \lim_{M\to\infty}\ln M=\infty. Assim a integral diverge.
  1. Pelo teste da integral, como a integral \int_{1}^{\infty}\dfrac{dx}{x} diverge, a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} também diverge.

Passo 5

Resumo didático final (dicas para prova):
  • A prova por agrupamento é bastante elemental e não usa cálculo de integrais; é ótima quando não é pedido usar testes específicos.
  • O teste da integral é direto quando se conhece \int_{1}^{\infty}\dfrac{dx}{x}=\infty.
  • Em provas, se pedirem justificativa formal, escreva claramente a construção dos blocos e a desigualdade que mostra que cada bloco soma pelo menos \tfrac{1}{2}, ou aplique o teste da integral verificando as hipóteses (positiva, contínua, decrescente) antes de integrar.

Resposta

Diverge.

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