- Determine se a série harmônica
converge ou diverge.
Conhecida: diverge pelo teste da integral:
Resposta: diverge.
Resposta: diverge.
Passo 1
O enunciado dá a série harmônica e pede para determinar se ela converge ou diverge. Informações fornecidas:
- Série:
. - Comentário conhecido: o teste da integral aplicado a
mostra .
O que se pede:
- Determinar se a série
converge ou diverge.
Passo 2
Conceito essencial (o que significa convergir/ divergir): para uma série numérica
definem-se as somas parciais
A série converge se a sequência
tem limite finito quando
; caso contrário, dizemos que a série diverge (por exemplo, quando
). Aqui
e queremos estudar o comportamento de
Passo 3
Método elementar (agrupamento) — ideia e justificativa passo a passo.
- Vamos agrupar os termos da série em blocos de tamanho que dobrem a cada passo. Escrevemos a soma como
- Observe a estrutura: o
-ésimo bloco (para ) tem termos. Mais precisamente:
- Bloco 1: termos com
(tamanho ). - Bloco 2: termo com
(tamanho neste enfileiramento inicial; mas a ideia formal a seguir funciona adotando os blocos a partir de adequadamente). - A partir daí, para ilustrar a técnica padrão, considere os blocos (a partir do terceiro escrito acima) de forma que o bloco
(para ) contenha os termos com índices
Esse bloco tem exatamente
termos.
- Em cada um desses blocos todos os termos são maiores ou iguais ao último termo do bloco. No bloco com índices de
até o maior índice é , então cada termo aí satisfaz
Portanto a soma de todos os
termos desse bloco é pelo menos
- Conclusão do agrupamento: além dos primeiros termos iniciais, cada bloco a partir de certa posição contribui com pelo menos
. Assim, os somatórios parciais crescem pelo menos como
ou seja, à medida que acrescentamos mais blocos obtemos uma soma parcial que excede
depois de
blocos. Como
quando
, segue que
. Logo a série diverge.
Comentário rápido para fixar a intuição: a soma de cada bloco não tende ao zero rápido o suficiente (cada bloco mantém pelo menos
), então não há como a soma total permanecer limitada.
Passo 4
Método via teste da integral (alternativa, clássico e também usado em provas) — enunciado do teste e aplicação.
-
Enunciado do teste da integral (forma usada aqui): seja
uma função positiva, contínua e monotonicamente decrescente. Então a série converge se, e somente se, a integral imprópria converge. Mais fraco, se a integral diverge então a série diverge. -
Aplicação ao caso
:
-
é positiva para . -
é contínua em . -
é decrescente pois para .
- Calcule a integral imprópria:
Fazendo
obtemos
. Assim a integral diverge.
- Pelo teste da integral, como a integral
diverge, a série também diverge.
Passo 5
Resumo didático final (dicas para prova):
- A prova por agrupamento é bastante elemental e não usa cálculo de integrais; é ótima quando não é pedido usar testes específicos.
- O teste da integral é direto quando se conhece
. - Em provas, se pedirem justificativa formal, escreva claramente a construção dos blocos e a desigualdade que mostra que cada bloco soma pelo menos
, ou aplique o teste da integral verificando as hipóteses (positiva, contínua, decrescente) antes de integrar.
Resposta
Diverge.