Determine a série de Maclaurin de cada uma das funções abaixo. (Dica: Utilize as séries de potências conhecidas de funções elementares como $e^{x},
cos x, sin x$,
, entre outras.)
Passo 1
O enunciado pede para obter a série de Maclaurin de f(x)=sin(π x). Vamos usar o conceito de série de Maclaurin, que é a expansão em potências de x centrada em x=0, e séries conhecidas de funções elementares.
Passo 2
Sabemos que a série de Maclaurin para sin t é dada por:
$$
a(sin t)=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}
$$
Passo 3
Para obter a série de sin (π x), fazemos t=π x na expansão acima. Assim:
Passo 4
Expandindo (π x)^{2n+1} como π^{2n+1} x^{2n+1}, obtemos a série final em potências de x.