Determine a série de Maclaurin de cada uma das funções abaixo. (Dica: Utilize as séries de potências conhecidas de funções elementares como $e^{x},
cos x, sin x$, e^x, cos x, sin x, entre outras.)
tan ^-1 x

Passo 1

O enunciado pede para obter a série de Maclaurin de f(x)=sin(π x). Vamos usar o conceito de série de Maclaurin, que é a expansão em potências de x centrada em x=0, e séries conhecidas de funções elementares.

Passo 2

Sabemos que a série de Maclaurin para sin t é dada por:
$$
a(sin t)=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}
$$

Passo 3

Para obter a série de sin (π x), fazemos t=π x na expansão acima. Assim:
sin(π x)=sumn=0^infty(-1)^n(π x)^2n+1(2n+1)!

Passo 4

Expandindo (π x)^{2n+1} como π^{2n+1} x^{2n+1}, obtemos a série final em potências de x.

Resposta

sumn=0^infty(-1)^npi^2n+1(2n+1)!,x^2n+1

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