Determine a série de Maclaurin de cada uma das funções abaixo. (Dica: Utilize as séries de potências conhecidas de funções elementares como $e^{x},
cos x, sin x$, e^x, cos x, sin x, entre outras.)
tan ^-1 x

Passo 1

Estamos querendo a série de Maclaurin da função f(x)=cosl(tfracpi x2r). O conteúdo aqui é usar a expansão em série de potências de cos x e depois fazer a substituição adequada.

Passo 2

A série de Maclaurin de cos x é dada por
cos x = sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n)!

Passo 3

Na nossa função temos x trocado por t=tfracpi x2. Portanto
cosl(tfracpi x2r)=sumn=0^infty (-1)^n l(tfracpi x2r)^2n(2n)!

Passo 4

Agora basta simplificar a potência:
l(tfracpi x2r)^2n=pi^2n2^2n,x^2n
Substituindo na série, temos
f(x)=sumn=0^infty(-1)^npi^2n2^2n(2n)!,x^2n

Resposta

f(x)=sumn=0^infty(-1)^npi^2n2^2n(2n)!,x^2n

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