Determine a Série de Maclaurin para f(x)
f(x)=x^{2} \cdot \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede: determinar a Série de Maclaurin para f(x) onde
f(x)=x^{2}\cdot \operatorname{sen} x.
Informações dadas:
\text{a função }f(x)=x^{2}\cdot \operatorname{sen} x \text{ está definida para todo }x\in\mathbb{R}.çãá
A tarefa é escrever a Série de Maclaurin (isto é, a série de Taylor centrada em 0) que representa f(x), explicitando os termos e, se possível, a forma geral.

Passo 2

O que é a Série de Maclaurin? É a série de Taylor da função em torno de 0. A fórmula geral é
\text{Se }g\text{ é }C^{\infty}\text{ em }0,\quad g(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^{n},é
onde g^{(n)}(0) é a n-ésima derivada de g avaliada em 0, e n! é o fatorial de n (por exemplo, 3!=3\cdot2\cdot1=6). Aqui a variável x é a variável independente da função e os coeficientes \frac{g^{(n)}(0)}{n!} são números que determinam a série.

Passo 3

Estratégia prática (muito usada em prova): usar a Série de Maclaurin conhecida de \operatorname{sen}x e multiplicar termo a termo por x^{2}. A Série de Maclaurin de \operatorname{sen}x é (fórmula conhecida ou obtida pela definição acima):
\operatorname{sen}x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots.
Explicando cada parte: o índice n vai de 0 a \infty; (-1)^n dá a alternância de sinais; 2n+1 garante que só aparecem potências ímpares; (2n+1)! é o fatorial que vem do denominador das derivadas sucessivas de seno.

Passo 4

Agora multiplico essa série por x^{2}. A multiplicação termo a termo de uma série de potências é legítima dentro do raio de convergência (no caso de \operatorname{sen}x o raio é infinito, então não existe problema). Multiplicando:
x^{2}\cdot \operatorname{sen}x = x^{2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+3}}{(2n+1)!}.
Aqui cada termo \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} de \operatorname{sen}x foi multiplicado por x^{2}, resultando em x^{2n+3} no numerador; o denominador permanece (2n+1)!.

Passo 5

Escrever os primeiros termos explícitos ajuda a visualizar e conferirmos com derivadas:
x^{2}\operatorname{sen}x = x^{3}-\frac{x^{5}}{3!}+\frac{x^{7}}{5!}-\frac{x^{9}}{7!}+\cdots.
Podemos verificar o coeficiente do primeiro termo calculando derivadas rápidas: se f(x)=x^{2}\operatorname{sen}x, então f^{(3)}(0)=6, logo o coeficiente de x^{3} é f^{(3)}(0)/3!=6/6=1, batendo com x^{3} acima — é um checagem consistente.

Passo 6

Reindexando (opcional) para escrever a forma geral com índice diferente: colocando k=n obtemos
x^{2}\operatorname{sen}x=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{x^{2k+3}}{(2k+1)!}.
Essa é a forma de série de potências centrada em 0. Note que os expoentes são 2k+3 (todos ímpares a partir de 3) e os denominadores são (2k+1)!.

Passo 7

Sobre convergência: a Série de Maclaurin de \operatorname{sen}x tem raio de convergência infinito, portanto a série multiplicada por x^{2} também converge para todos x\in\mathbb{R}. Na prática, no exame, não precisa provar esse ponto se você já conhece a série de \operatorname{sen}x.

Passo 8

Resumo final: a Série de Maclaurin de f(x)=x^{2}\operatorname{sen}x pode ser apresentada tanto em forma somatória quanto em forma de termos explícitos. A forma em somatório é conveniente para identificar o termo geral; a forma desenvolvida é boa para usar nos cálculos ou aproximações.

Resposta

x^{2}\operatorname{sen}x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+3}}{(2n+1)!}
x^{2}\operatorname{sen}x= x^{3}-\frac{x^{5}}{3!}+\frac{x^{7}}{5!}-\frac{x^{9}}{7!}+\cdots

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