Determine a Série de Maclaurin para
Passo 1
O enunciado pede: determinar a Série de Maclaurin para
onde
Informações dadas:
A tarefa é escrever a Série de Maclaurin (isto é, a série de Taylor centrada em
) que representa
, explicitando os termos e, se possível, a forma geral.
Passo 2
O que é a Série de Maclaurin? É a série de Taylor da função em torno de
. A fórmula geral é
onde
é a
-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
(por exemplo,
). Aqui a variável
é a variável independente da função e os coeficientes
são números que determinam a série.
Passo 3
Estratégia prática (muito usada em prova): usar a Série de Maclaurin conhecida de
e multiplicar termo a termo por
. A Série de Maclaurin de
é (fórmula conhecida ou obtida pela definição acima):
Explicando cada parte: o índice
vai de
a
;
dá a alternância de sinais;
garante que só aparecem potências ímpares;
é o fatorial que vem do denominador das derivadas sucessivas de seno.
Passo 4
Agora multiplico essa série por
. A multiplicação termo a termo de uma série de potências é legítima dentro do raio de convergência (no caso de
o raio é infinito, então não existe problema). Multiplicando:
Aqui cada termo
de
foi multiplicado por
, resultando em
no numerador; o denominador permanece
.
Passo 5
Escrever os primeiros termos explícitos ajuda a visualizar e conferirmos com derivadas:
Podemos verificar o coeficiente do primeiro termo calculando derivadas rápidas: se
, então
, logo o coeficiente de
é
, batendo com
acima — é um checagem consistente.
Passo 6
Reindexando (opcional) para escrever a forma geral com índice diferente: colocando
obtemos
Essa é a forma de série de potências centrada em
. Note que os expoentes são
(todos ímpares a partir de
) e os denominadores são
.
Passo 7
Sobre convergência: a Série de Maclaurin de
tem raio de convergência infinito, portanto a série multiplicada por
também converge para todos
. Na prática, no exame, não precisa provar esse ponto se você já conhece a série de
.
Passo 8
Resumo final: a Série de Maclaurin de
pode ser apresentada tanto em forma somatória quanto em forma de termos explícitos. A forma em somatório é conveniente para identificar o termo geral; a forma desenvolvida é boa para usar nos cálculos ou aproximações.