Questão 1: [8 pontos] Encontre a solução em forma de série de Fourier para o problema de Dirichlet para a equaçāo da onda com termo fonte:
\left\{\begin{array}{l|l} u_{t t}=u_{x x}-10 & \text { se } 0<x<1 \text { e } t>0, \\\ u(0, t)=u(1, t)=0 & \text { se } t \geqslant 0, \\\ u(x, 0)=u_{t}(x, 0)=0 & \text { se } 0 \leqslant x \leqslant 1 . \end{array}\right.
[4 pontos] Encontre a soluçao de d’Alember apropríada para este problema.

Passo 1

O enunciado dá o problema (equação da onda com fonte, condições de Dirichlet e condições iniciais nulas). As perguntas são duas e distintas:
\text{(A)}\\ \text{Encontre a solução em forma de série de Fourier para } \begin{cases} u_{tt}=u_{xx}-10,&0<x<1,\\ t>0,\\[4pt] u(0,t)=u(1,t)=0,&t\ge0,\\[4pt] u(x,0)=0,\quad u_t(x,0)=0,&0\le x\le1. \end{cases}çãé
\text{(B)}\\ \text{Encontre a solução de d'Alembert apropriada para este problema.}çã
Dados relevantes do enunciado que vamos usar:
  1. A fonte é constante espacialmente: f(x,t)=-10.
  2. As condições de contorno são homogêneas de Dirichlet em x=0 e x=1.
  3. As condições iniciais são nulas: u(x,0)=0 e u_t(x,0)=0.
  4. Intervalo espacial é [0,1] (isto determina os autofunções \sin(n\pi x) para Dirichlet).
    A resolução atual começa no Passo 2.]

Passo 2

Ideia geral para a parte em série de Fourier (explicação didática e por que usar essa abordagem):
  • Com contorno de Dirichlet homogêneo em [0,1]\), as autofunções naturais são \(\sin(n\pi x)\) porque elas se anulam em \(x=0\) e \(x=1\). - Vamos expandir \(u(x,t)\) em série de senos em \(x\) com coeficientes dependentes de \(t\): \[u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty U_n(t)\sin(n\pi x).
  • Também expandimos a fonte f(x,t)=-10 em série de senos (os coeficientes serão independentes de t pois a fonte é constante no tempo).
  • Em seguida, substituímos as séries na PDE e usamos ortogonalidade das senos para obter uma equação ordinária em t para cada coeficiente U_n(t).
    Vou agora explicar a propriedade de ortogonalidade que usaremos: para inteiros positivos m,n,
\int_0^1 \sin(m\pi x)\sin(n\pi x)\,dx=\begin{cases}\tfrac{1}{2},&m=n,\\[4pt]0,&m\ne n.\end{cases}
Essa identidade é essencial porque permite “isolar” cada modo n\] ao multiplicar a equação por \(\sin(n\pi x) e integrar em x.]

Passo 3

Substituímos a expansão
u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty U_n(t)\sin(n\pi x)
na PDE u_{tt}=u_{xx}-10. Derivadas são
u_{tt}(x,t)=\sum_{n=1}^\infty U_n''(t)\sin(n\pi x), \qquad u_{xx}(x,t)=\sum_{n=1}^\infty U_n(t)\,(n\pi)^2\sin(n\pi x).
Portanto a equação torna-se (formalmente)
\sum_{n=1}^\infty \big(U_n''(t)+(n\pi)^2 U_n(t)\big)\sin(n\pi x)= -10.
Agora multiplicamos ambos os lados por \sin(m\pi x) e integramos em x de 0 a 1. Usando ortogonalidade, à esquerda só sobra o termo com n=m vezes \tfrac{1}{2}; à direita temos a projeção da constante -10 no modo m. Assim obtemos para cada m\ge1:
\frac{1}{2}\big(U_m''(t)+(m\pi)^2 U_m(t)\big)=\int_0^1 (-10)\sin(m\pi x)\,dx.
Multiplicando por 2,
U_m''(t)+(m\pi)^2 U_m(t)=F_m,
onde
F_m:=2\int_0^1 (-10)\sin(m\pi x)\,dx.
Essa é a equação ordinária em t que cada coeficiente U_m satisfaz.

Passo 4

Vamos calcular explicitamente F_m. Fazemos a integral
\int_0^1 \sin(m\pi x)\,dx=\left[-\frac{\cos(m\pi x)}{m\pi}\right]_0^1=\frac{1-\cos(m\pi)}{m\pi}=\frac{1-(-1)^m}{m\pi}.
Portanto
F_m=2\cdot(-10)\cdot\frac{1-(-1)^m}{m\pi}=-20\frac{1-(-1)^m}{m\pi}.
Observação útil (para simplificar depois): se m é par, 1-(-1)^m=0 então F_m=0; se m é ímpar, 1-(-1)^m=2 então F_m=-40/(m\pi).

Passo 5

Agora resolvemos a equação ordinária para cada m:
U_m''(t)+(m\pi)^2 U_m(t)=F_m,
com condições iniciais obtidas de u(x,0)=0 e u_t(x,0)=0. Expansão de u(x,0) U_m(0)=0 e expansão de u_t(x,0) U_m'(0)=0 para todo m.
Esta é uma equação linear de segunda ordem com forçamento constante F_m. A solução geral é soma da solução particular constante e da solução homogênea:
  • solução particular constante: U_{m,p}=F_m/(m\pi)^2 (verificação: derivadas zero, substitui e dá (m\pi)^2 U_{m,p}=F_m).
  • Homogênea: A_m\cos(m\pi t)+B_m\sin(m\pi t).
Impondo condições iniciais:
U_m(0)=U_{m,p}+A_m=0\quad\Rightarrow\quad A_m=-U_{m,p},
U_m'(0)=0 + B_m (m\pi)=0\quad\Rightarrow\quad B_m=0.
Logo
U_m(t)=U_{m,p}+A_m\cos(m\pi t)=\frac{F_m}{(m\pi)^2}\big(1-\cos(m\pi t)\big).

Passo 6

Substituímos F_m calculado no Passo 4:
U_m(t)=\frac{-20(1-(-1)^m)}{m\pi}\cdot\frac{1}{(m\pi)^2}\big(1-\cos(m\pi t)\big) =-20\frac{1-(-1)^m}{m^3\pi^3}\big(1-\cos(m\pi t)\big).
Como observado, para m par temos 1-(-1)^m=0 e o termo some; para m ímpar 1-(-1)^m=2 e
U_m(t)=-40\frac{1}{m^3\pi^3}\big(1-\cos(m\pi t)\big),\qquad m\\ \text{ímpar}.í
Portanto a solução em série é
u(x,t)=\sum_{m=1}^\infty U_m(t)\sin(m\pi x) =-20\sum_{m=1}^\infty \frac{1-(-1)^m}{m^3\pi^3}\big(1-\cos(m\pi t)\big)\sin(m\pi x).
Podemos escrever somente em termos dos índices ímpares m=2k+1 para economia:
\boxed{\,u(x,t)=-\frac{40}{\pi^3}\sum_{k=0}^\infty \frac{1-\cos\big((2k+1)\pi t\big)}{(2k+1)^3}\,\sin\big((2k+1)\pi x\big)\,}
Essa é a solução em forma de série de Fourier pedida. (Observação: a série converge razoavelmente rápido porque os coeficientes decaem como 1/(2k+1)^3.)

Passo 7

Agora a solução de d’Alembert “apropriada” (explicação didática do raciocínio):
  • Uma maneira prática de construir uma expressão de d’Alembert que respeite as condições de contorno é decompor u em uma solução particular estacionária u_p(x) que elimina a fonte e uma parte v(x,t) que satisfaz a onda homogênea:
u(x,t)=v(x,t)+u_p(x),
onde escolhemos u_p(x) satisfazendo u_{p}''(x)=10 (pois queremos 0=u_{p}''(x)-10) e as condições de contorno u_p(0)=u_p(1)=0.
  • Resolvem-se as integrais: u_p''(x)=10\Rightarrow u_p'(x)=10x+C_1\Rightarrow u_p(x)=5x^2+C_1 x+C_2.
    Impondo u_p(0)=0 C_2=0. Impondo u_p(1)=0 5+C_1+0=0\Rightarrow C_1=-5. Assim
\boxed{\,u_p(x)=5x^2-5x.}
  • Defina v(x,t)=u(x,t)-u_p(x). Substituindo na PDE verifica-se que v satisfaz a equação homogênea:
v_{tt}=v_{xx},
com condições de contorno homogêneas v(0,t)=v(1,t)=0, e condições iniciais obtidas de u(x,0)=0,\\ u_t(x,0)=0:
v(x,0)=-u_p(x)=-5x^2+5x,\qquad v_t(x,0)=0.
  • Para resolver v com contorno 0 em x=0,1 pelo método de d’Alembert, fazemos a extensão ímpar periódica do dado inicial de deslocamento g(x):=v(x,0)=-5x^2+5x para toda a reta com período 2. Chamo essa extensão de g^*(s): ela satisfaz g^*(s+2)=g^*(s) e g^*(-s)=-g^*(s). Então, a solução por d’Alembert (para a onda com velocidade c=1) é
v(x,t)=\frac{1}{2}\big(g^*(x+t)+g^*(x-t)\big),
que garante as condições de contorno por simetrias (método dos reflexos/ extensão ímpar periódica).
  • Finalmente a solução u é
\boxed{\,u(x,t)=u_p(x)+v(x,t)=5x^2-5x+\frac{1}{2}\big(g^*(x+t)+g^*(x-t)\big),}
onde g^*(s) é a extensão ímpar e periódica de período 2 da função g(s)=-5s^2+5s definida originalmente em s\in[0,1]. Essa é a forma de d’Alembert apropriada para o problema com contornos de Dirichlet em [0,1].

Resposta

u(x,t)=-\dfrac{40}{\pi^3}\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \dfrac{1-\cos\big((2k+1)\pi t\big)}{(2k+1)^3}\,\sin\big((2k+1)\pi x\big)\n
u(x,t)=5x^2-5x+\dfrac{1}{2}\big(g^*(x+t)+g^*(x-t)\big), onde g(s)=-5s^2+5s para s\in[0,1] e g^*(s) é a extensão ímpar periódica de período 2 de g.

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