Determine a série de Maclaurin para as seguintes funções: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a série de Maclaurin da função . Para isso, vamos precisar entender como expandir o logaritmo natural em série e depois multiplicar pela função .
Passo 2
Primeiro, lembremos o que é a série de Maclaurin. Ela é uma série de Taylor expandida em torno do ponto 0. Basicamente, é uma maneira de escrever uma função como uma soma infinita de termos polinomiais.
Passo 3
Agora, vamos focar na parte do logaritmo: . Sabemos que a série de Maclaurin para é:
Aqui, podemos fazer uma substituição onde . Então, substituindo na série:
Passo 4
Agora, voltamos à função original . Vamos multiplicar cada termo da série que encontramos por :
Fazendo a multiplicação:
Resposta
A série de Maclaurin para f(x) = x^37 - x^52 cdot 7^2 + x^73 cdot 7^3 - x^94 cdot 7^4 + dots é: