Determine a série de Maclaurin para as seguintes funções:
f(x)=x ln (1+x^27).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a série de Maclaurin da função . Para isso, vamos precisar entender como expandir o logaritmo natural em série e depois multiplicar pela função .

Passo 2

Primeiro, lembremos o que é a série de Maclaurin. Ela é uma série de Taylor expandida em torno do ponto 0. Basicamente, é uma maneira de escrever uma função como uma soma infinita de termos polinomiais.

Passo 3

Agora, vamos focar na parte do logaritmo: ln(1 + u) = u - u^22 + u^33 - u^44 + dots . Sabemos que a série de Maclaurin para ln(1 + x^27) = x^27 - (x^27)^22 + (x^27)^33 - (x^27)^44 + dots é:
Aqui, podemos fazer uma substituição onde . Então, substituindo na série:

Passo 4

Agora, voltamos à função original f(x) = x ( x^27 - (x^27)^22 + (x^27)^33 - dots ) . Vamos multiplicar cada termo da série que encontramos por f(x) = x^37 - x^52 cdot 7^2 + x^73 cdot 7^3 - dots :
Fazendo a multiplicação:

Resposta

A série de Maclaurin para f(x) = x^37 - x^52 cdot 7^2 + x^73 cdot 7^3 - x^94 cdot 7^4 + dots é:

Exercícios relacionados