Use o Teorema de Gauss para calcular o Fluxo de
através de S sendo:
e
é a “esfera gorda”
.
Passo 1
Então, a gente vai resolver um exercício sobre o Teorema de Gauss, que é uma ferramenta importante no cálculo vetorial para calcular o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. No caso, queremos encontrar o fluxo do campo
através de uma superfície S, que é a “esfera gorda” definida por
. Para isso, vamos precisar calcular a divergência do campo
e depois integrar essa divergência sobre o volume delimitado pela superfície S.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência mede a taxa de “fluxo de saída” de um campo em um ponto. Matematicamente, para um campo
, a divergência é dada por:
Vamos calcular agora a divergência do nosso campo
.
Passo 3
Identificando as componentes de
:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Então, a divergência de
é:
Passo 4
Agora que temos a divergência, segundo o Teorema de Gauss, o fluxo através da superfície S é igual à integral da divergência de
sobre o volume V delimitado por S:
Vamos analisar essa integral. Observamos que
é uma função ímpar em relação a y, e
também é uma função ímpar em relação a x. Como o volume V é simétrico em relação aos eixos, integrando funções ímpares sobre V, os resultados serão nulos.
Passo 5
Portanto, ambas as partes da nossa integral serão zero:
Assim, o fluxo total será:
Resposta
O fluxo de
através de S é igual a zero.