Use o Teorema de Gauss para calcular o Fluxo de F através de S sendo:
F(x, y, z)=x sin y i+x cos y j-x z sin y k e S é a “esfera gorda” x^8+y^8+z^8=8.

Passo 1

Então, a gente vai resolver um exercício sobre o Teorema de Gauss, que é uma ferramenta importante no cálculo vetorial para calcular o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. No caso, queremos encontrar o fluxo do campo através de uma superfície S, que é a “esfera gorda” definida por . Para isso, vamos precisar calcular a divergência do campo e depois integrar essa divergência sobre o volume delimitado pela superfície S.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência mede a taxa de “fluxo de saída” de um campo em um ponto. Matematicamente, para um campo div , F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z , a divergência é dada por:
Vamos calcular agora a divergência do nosso campo .

Passo 3

Identificando as componentes de P = x sin y, Q = x cos y, R = -x z sin y :
partial Ppartial x = sin y
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial y = -x sin y
partial Rpartial z = -x sin y
div , F = sin y - x sin y - x sin y = sin y - 2x sin y
Então, a divergência de é:

Passo 4

Agora que temos a divergência, segundo o Teorema de Gauss, o fluxo através da superfície S é igual à integral da divergência de Fluxo = integral triplaV (sin y - 2x sin y) , dV sobre o volume V delimitado por S:
Vamos analisar essa integral. Observamos que é uma função ímpar em relação a y, e também é uma função ímpar em relação a x. Como o volume V é simétrico em relação aos eixos, integrando funções ímpares sobre V, os resultados serão nulos.

Passo 5

Portanto, ambas as partes da nossa integral serão zero:
integral triplaV sin y , dV = 0 e integral triplaV 2x sin y , dV = 0
Assim, o fluxo total será:
Fluxo = 0 - 0 = 0

Resposta

O fluxo de através de S é igual a zero.

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