Exercs. 5-32: Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n(1+e^-n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a série infinita . O objetivo aqui é descobrir se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de convergência de séries e séries alternadas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Isso quer dizer que a gente ignora os sinais alternados e olha só a série dos módulos dos termos:
sumn=1^infty | (-1)^n (1 + e^-n) | = sumn=1^infty (1 + e^-n)
Agora, vamos ver se essa série converge.

Passo 3

A série sumn=1^infty 1 + sumn=1^infty e^-n pode ser separada em duas séries:
A primeira parte, , é uma série harmônica divergente, porque somar 1 infinitas vezes dá infinito. A segunda parte, , é uma progressão geométrica com razão , que converge. Mas, como a primeira parte diverge, a série total também diverge.

Passo 4

Já que a série dos módulos diverge, ela não é absolutamente convergente. Agora, vamos verificar a convergência condicional usando o Teste da Série Alternada. Para isso, precisamos que:
  1. seja decrescente.
  2. O limite .
Como o limite não é zero, pelo teste da série alternada, a série não converge condicionalmente.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados