Calcule partial zpartial x(x, y) e partial zpartial y(x, y) para
z=ln (x^2x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de  z=lnl(x^2x^2+y^2r). O conteúdo é derivação de função logarítmica e usaremos propriedades de log e a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro vamos usar a propriedade  ln(a/b)=ln a-ln b para simplificar  z. Assim, escrevemos
z=ln(x^2)-ln(x^2+y^2)

Passo 3

Para diferenciar  z em relação a  x, lembramos que a derivada de  ln(u) é  u'/u pela regra da cadeia. Então:
partialpartial xln(x^2)=2xx^2=2x,partialpartial xln(x^2+y^2)=2xx^2+y^2

Passo 4

Subtraindo, obtemos
partial zpartial x=2x-2xx^2+y^2

Passo 5

Agora para  partial z/partial y, a parte  ln(x^2) não depende de  y, então sua derivada é zero. A outra parte dá:
partialpartial yln(x^2+y^2)=2yx^2+y^2

Passo 6

Logo,
partial zpartial y=0-2yx^2+y^2=-2yx^2+y^2

Resposta

partial zpartial x=2x-2xx^2+y^2,partial zpartial y=-2yx^2+y^2

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