Determine a série de Maclaurin para as seguintes funções:
f(x)=x arctan x

Passo 1

Estamos com a função f(x)=xarctan x e queremos a série de Maclaurin (ou seja, a expansão em torno de x=0). O conteúdo envolve séries de potências e, em particular, a expansão de arctan x.

Passo 2

Para construir a série, lembramos da expansão de Maclaurin de arctan x. Podemos obter ela integrando a série de 1/(1+t^2). O resultado conhecido é:
arctan x = sumn=0^infty(-1)^nx^2n+12n+1, |x|<=1

Passo 3

Agora basta multiplicar essa série por x, pois f(x)=xarctan x. Assim temos
f(x)=xarctan x = xsumn=0^infty(-1)^nx^2n+12n+1 = sumn=0^infty(-1)^nx^2n+22n+1

Passo 4

Para ficar mais visual, escrevemos os primeiros termos:
f(x)=x^2 - x^43 + x^65 - x^87 + cdots, |x|<=1

Resposta

A série de Maclaurin de f(x)=xarctan x é
f(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+22n+1=x^2-x^43+x^65-cdots,
válida para |x|<=1.

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