Sugestão: Teste de comparação ou comparação no limite
k) sum 2 n+n^2n^3+1

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série sumn=1^infty 2n + n^2n^3 + 1. O conteúdo é teste de comparação (ou comparação no limite) para séries de termos positivos.

Passo 2

Para comparar, primeiro vemos o comportamento assintótico de cada termo. Para n grande, o numerador se comporta como n^2 e o denominador como n^3, de modo que
2n + n^2n^3 + 1 sim n^2n^3 = 1n

Passo 3

Agora aplicamos o teste da comparação no limite com a série harmônica sum 1/n. Calculamos
L = limntoinfty tfrac2n + n^2n^3 + 11/n = limntoinfty n(2n + n^2)n^3 + 1 = limntoinfty 2n^2 + n^3n^3 + 1 = 1
Como 0 < L < infty e a série sum 1/n é divergente, nossa série também diverge.

Passo 4

Portanto, pela comparação no limite com a série harmônica, concluímos que a série original é divergente.

Resposta

A série diverge.

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