Determine a série de Maclaurin para as seguintes funções:
Passo 1
O exercício pede para achar a série de Maclaurin de f(x)=x ln(1+x), ou seja, a expansão em potências de x em torno de x=0. O conteúdo envolvido é série de Taylor/Maclaurin e vamos precisar da expansão conhecida de ln(1+x).
Passo 2
Para |x|<1, a expansão de Maclaurin de ln(1+x) é dada por:
Essa fórmula vem de integrar a série de 1/(1+t) ou de derivar termo a termo a partir da definição.
Passo 3
Como f(x)=x·ln(1+x), multiplicamos a série termo a termo por x:
Passo 4
Se quisermos reindexar para ver os expoentes começando em m=2, basta fazer m=n+1, de modo que n=m-1:
Podemos também escrever os primeiros termos: x2−x3/2+x4/3−x5/4+…