Determine a série de Maclaurin para as seguintes funções:
f(x)=x ln (x+1)

Passo 1

O exercício pede para achar a série de Maclaurin de f(x)=x ln(1+x), ou seja, a expansão em potências de x em torno de x=0. O conteúdo envolvido é série de Taylor/Maclaurin e vamos precisar da expansão conhecida de ln(1+x).

Passo 2

Para |x|<1, a expansão de Maclaurin de ln(1+x) é dada por:
ln(1+x)=sumn=1^infty(-1)^n-1x^nn
Essa fórmula vem de integrar a série de 1/(1+t) ou de derivar termo a termo a partir da definição.

Passo 3

Como f(x)=x·ln(1+x), multiplicamos a série termo a termo por x:
xln(1+x)=xsumn=1^infty(-1)^n-1x^nn=sumn=1^infty(-1)^n-1x^n+1n

Passo 4

Se quisermos reindexar para ver os expoentes começando em m=2, basta fazer m=n+1, de modo que n=m-1:
xln(1+x)=summ=2^infty(-1)^m-2x^mm-1, |x|<1
Podemos também escrever os primeiros termos: x2−x3/2+x4/3−x5/4+…

Resposta

xln(1+x)=sumn=1^infty(-1)^n-1x^n+1n,|x|<1

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