O volume de água em um tanque está variando com o tempo de acordo com a equação V(t)=64 h(t)+4 h^2(t). Suponha que o nível da água h(t) esteja decrescendo à razão constante de 0,25 m / min. Calcule a velocidade de decréscimo do volume de água no tanque, quando o nível de água for igual a h=3 metros, em um dado instante de tempo t=t^*.
Sugestões: (1) use derivação implícita (Regra da Cadeia) para derivar h²(t); (2) se uma função é decrescente, então a sua derivada é negativa.

Passo 1

Resumindo o enunciado: o volume de água varia segundo V(t)=64,h(t)+4,h^2(t) e o nível h(t) decresce a dhdt=-0,25 m/min. Queremos encontrar dVdt quando h=3 m.

Passo 2

Para relacionar dVdt com dhdt usamos a regra da cadeia. Primeiro calculamos a derivada de V em relação a h:
dVdh=ddhl(64h+4h^2r)=64+8h
Então
dVdt=dVdhcdotdhdt=(64+8h),dhdt

Passo 3

Substituindo h=3 e dhdt=-0,25:
dVdt=(64+8cdot3)(-0,25)=(64+24)(-0,25)=88times(-0,25)

Passo 4

Calculando o produto:
88times(-0,25)=-22
Isso significa que o volume decresce a 22 m^3/min.

Resposta

-22 m^3/min

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