Exercs. 1-4: (a) Desenvolva em série de potências. (b) Use o Teorema (11.40) para representar e em série de potências.
Passo 1
Então, o que a gente precisa fazer aqui é resolver um exercício que envolve séries de potências. O exercício está dividido em duas partes:
(a) Desenvolver a função em uma série de potências.
(b) Usar o Teorema (11.40) para representar a derivada e a integral também em séries de potências.
Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries geométricas e como diferenciar e integrar séries de potências termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos desenvolver em uma série de potências. A ideia é reescrever de uma forma que se pareça com a série geométrica conhecida.
Começamos com:
Podemos fatorar o 2 do denominador:
Agora, reescrevemos como :
Passo 3
A gente sabe que a série geométrica é dada por:
Aqui, . Então, podemos substituir na série geométrica:
Essa série converge quando:
Passo 4
Então, a série de potências que representa f(x) = 12 sumn=0^infty (-7x2)^n é:
Isso responde a parte (a) do exercício.
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b). O Teorema (11.40) nos permite diferenciar e integrar séries de potências termo a termo dentro do intervalo de convergência.
Primeiro, vamos encontrar a derivada f'(x) = ddx ( 12 sumn=0^infty (-7x2)^n ) = 12 sumn=0^infty ddx ( (-7x2)^n ) . Diferenciando cada termo da série:
ddx ( (-7x2)^n ) = n (-72) (-7x2)^n-1
Calculando a derivada de cada termo:
f'(x) = 12 sumn=1^infty n (-72) (-7x2)^n-1
Então:
Passo 6
Agora, vamos integrar a série termo a termo para encontrar integral0^x f(t) , dt = integral0^x 12 sumn=0^infty (-7t2)^n , dt = 12 sumn=0^infty integral0^x (-7t2)^n , dt :