Exercs. 1-4: (a) Desenvolva f(x) em série de potências. (b) Use o Teorema (11.40) para representar f^prime(x) e integral0^x f(t) d t em série de potências.
f(x)=12+7 x,|x|<27

Passo 1

Então, o que a gente precisa fazer aqui é resolver um exercício que envolve séries de potências. O exercício está dividido em duas partes:
(a) Desenvolver a função em uma série de potências.
(b) Usar o Teorema (11.40) para representar a derivada e a integral também em séries de potências.
Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries geométricas e como diferenciar e integrar séries de potências termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos desenvolver f(x) = 12 + 7x em uma série de potências. A ideia é reescrever f(x) = 12 (1 + 7x2) = 12 cdot 11 + 7x2 de uma forma que se pareça com a série geométrica conhecida.
Começamos com:
f(x) = 12 cdot 11 - (-7x2)
Podemos fatorar o 2 do denominador:
Agora, reescrevemos como :

Passo 3

A gente sabe que a série geométrica é dada por:
11 - r = sumn=0^infty r^n para |r| < 1
Aqui, f(x) = 12 sumn=0^infty (-7x2)^n . Então, podemos substituir na série geométrica:
| -7x2 | < 1 Rightarrow |x| < 27
Essa série converge quando:

Passo 4

Então, a série de potências que representa f(x) = 12 sumn=0^infty (-7x2)^n é:
Isso responde a parte (a) do exercício.

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b). O Teorema (11.40) nos permite diferenciar e integrar séries de potências termo a termo dentro do intervalo de convergência.
Primeiro, vamos encontrar a derivada f'(x) = ddx ( 12 sumn=0^infty (-7x2)^n ) = 12 sumn=0^infty ddx ( (-7x2)^n ) . Diferenciando cada termo da série:
ddx ( (-7x2)^n ) = n (-72) (-7x2)^n-1
Calculando a derivada de cada termo:
f'(x) = 12 sumn=1^infty n (-72) (-7x2)^n-1
Então:

Passo 6

Agora, vamos integrar a série termo a termo para encontrar integral0^x f(t) , dt = integral0^x 12 sumn=0^infty (-7t2)^n , dt = 12 sumn=0^infty integral0^x (-7t2)^n , dt :
integral0^x (-7t2)^n , dt = (-72)^nn + 1 x^n+1
Integrando cada termo:
integral0^x f(t) , dt = 12 sumn=0^infty (-72)^nn + 1 x^n+1
Portanto:

Resposta

(a) A série de potências de f(x) = 12 sumn=0^infty (-7x2)^n para |x| < 27 é:
f'(x) = 12 sumn=1^infty n (-72) (-7x2)^n-1
(b) As representações em série de potências de integral0^x f(t) , dt = 12 sumn=0^infty (-72)^nn + 1 x^n+1 e são:
Todas válidas para .

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