Exercs. 5-32: Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado apresenta a série alternada . O conteúdo envolvido é análise de convergência de séries, em particular séries alternadas e séries . Vamos precisar do critério de Leibniz para séries alternadas e do teste da série para a convergência absoluta.
Passo 2
Para verificar a convergência absoluta, consideramos a série de termos positivos correspondentes: . Essa é uma série p com p=2/3<1. Pelo teste da série p, séries com p<=1 divergem, logo
sumn=1^infty1n^2/3 diver>=
Passo 3
Agora, para verificar a convergência condicional, aplicamos o critério de Leibniz para séries alternadas. Precisamos checar duas coisas para an=1/n^2/3:
an é positiva e monótona decrescente para n>=1, o que é claro pois n^2/3 cresce com n.
limntoinftyan=limntoinfty1n^2/3=0.
Passo 4
Pelo critério de Leibniz, essas condições garantem que
sumn=1^infty(-1)^n-11n^2/3
converge. Apesar disso, já vimos que não converge absolutamente.
Passo 5
Como a série converge (pelo critério de Leibniz) mas não converge absolutamente, ela é condicionalmente convergente.