Exercs. 5-32: Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n-1 1n^2 / 3

Passo 1

O enunciado apresenta a série alternada sumn=1^infty(-1)^n-1 1n^2/3. O conteúdo envolvido é análise de convergência de séries, em particular séries alternadas e séries p. Vamos precisar do critério de Leibniz para séries alternadas e do teste da série p para a convergência absoluta.

Passo 2

Para verificar a convergência absoluta, consideramos a série de termos positivos correspondentes: sumn=1^inftyl|(-1)^n-1 1n^2/3r|=sumn=1^infty1n^2/3. Essa é uma série p com p=2/3<1. Pelo teste da série p, séries com p<=1 divergem, logo
sumn=1^infty1n^2/3 diver>=

Passo 3

Agora, para verificar a convergência condicional, aplicamos o critério de Leibniz para séries alternadas. Precisamos checar duas coisas para an=1/n^2/3:
  • an é positiva e monótona decrescente para n>=1, o que é claro pois n^2/3 cresce com n.
  • limntoinftyan=limntoinfty1n^2/3=0.

Passo 4

Pelo critério de Leibniz, essas condições garantem que
sumn=1^infty(-1)^n-11n^2/3
converge. Apesar disso, já vimos que não converge absolutamente.

Passo 5

Como a série converge (pelo critério de Leibniz) mas não converge absolutamente, ela é condicionalmente convergente.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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