Seja f(x)=\frac{-3 x^{2}}{\left(x^{3}-2\right)^{2}} e S_{f}(x) a série de Taylor de f ao redor de x=0. Podemos afirmar que:
(a) Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
(b) S_{f}(x) converge para f em \left.]-\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2}\right] e f^{(92)}(0)=\frac{-(93)!}{2^{32}}.
(c) S_{f}(x) converge para f em ]-1,1 [ e f^{(92)}(0)=(91) !.
(d) S_{f}(x) converge para f em ]-1,1 [ e f^{(92)}(0)=(92) !.
(e) S_{f}(x) converge para f em \left.]-\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2}\right] e f^{(92)}(0)=\frac{-(91)!}{2^{31}}.
Passo 1
O enunciado dá a função f e pede para analisar a série de Taylor S_{f}(x) de f em torno de x=0 e comparar com alternativas que envolvem o intervalo de convergência e o valor de f^{(92)}(0). Informações relevantes fornecidas:
f(x)=\frac{-3x^{2}}{(x^{3}-2)^{2}}.
As alternativas (b)-(e) afirmam intervalos de convergência e valores para f^{(92)}(0); a (a) diz que nenhuma das outras é verdadeira. Nosso objetivo: encontrar a série de Taylor, o intervalo de convergência (especialmente comportamento nos extremos), e calcular f^{(92)}(0) para comparar com as alternativas.
Passo 2
Transformação que facilita a expansão em série: fatoramos x^{3}-2 para escrever a função no formato (1-t)^{-2}. Observe:
Raio e intervalo de convergência: a condição usada foi \left|\dfrac{x^{3}}{2}\right|<1, isto é
|x|<\sqrt[3]{2}.
Portanto a série de potências tem raio de convergência R=\sqrt[3]{2} e converge uniformemente para f em cada intervalo fechado estritamente contido em \left(-\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2}\right). Importante: nos pontos extremos x=\pm\sqrt[3]{2} temos t=\pm1; avaliando os termos vemos que não se anula o termo geral, ou seja a sequência dos termos não tende a zero, logo a série diverge nesses extremos. Conclusão: a série converge exatamente para f em \left(-\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2}\right) (intervalo aberto), e NÃO converge para f em x=\sqrt[3]{2} (além disso f nem é definida nesse ponto porque o denominador zera).
Passo 6
Cálculo de f^{(92)}(0): a série de Taylor escrita como
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}x^{k}
tem a relação padrão entre coeficiente e derivada:
a_{k}=\frac{f^{(k)}(0)}{k!}.
Na nossa série só aparecem potências x^{3n+2}. Assim, para k=3n+2 temos
(b) dá o valor correto de f^{(92)}(0)=-\dfrac{93!}{2^{32}} mas está incorreta ao afirmar que a série converge para f em \left]-\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2}\right] (o extremo direito não pertence ao domínio da série nem de f); portanto (b) é falsa.
(e) e (c)/(d) têm valores de derivada diferentes do valor correto acima, e (c)/(d) também declaram intervalo ]-1,1[ que é um subconjunto onde a série converge, mas o valor da derivada está errado.
Assim nenhuma das alternativas (b)-(e) está completamente correta.