Seja f(x)=\frac{-3 x^{2}}{\left(x^{3}-2\right)^{2}} e S_{f}(x) a série de Taylor de f ao redor de x=0. Podemos afirmar que:
(a) Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
(b) S_{f}(x) converge para f em \left.]-\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2}\right] e f^{(92)}(0)=\frac{-(93)!}{2^{32}}.
(c) S_{f}(x) converge para f em ]-1,1 [ e f^{(92)}(0)=(91) !.
(d) S_{f}(x) converge para f em ]-1,1 [ e f^{(92)}(0)=(92) !.
(e) S_{f}(x) converge para f em \left.]-\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2}\right] e f^{(92)}(0)=\frac{-(91)!}{2^{31}}.

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede para analisar a série de Taylor S_{f}(x) de f em torno de x=0 e comparar com alternativas que envolvem o intervalo de convergência e o valor de f^{(92)}(0). Informações relevantes fornecidas:
f(x)=\frac{-3x^{2}}{(x^{3}-2)^{2}}.
As alternativas (b)-(e) afirmam intervalos de convergência e valores para f^{(92)}(0); a (a) diz que nenhuma das outras é verdadeira. Nosso objetivo: encontrar a série de Taylor, o intervalo de convergência (especialmente comportamento nos extremos), e calcular f^{(92)}(0) para comparar com as alternativas.

Passo 2

Transformação que facilita a expansão em série: fatoramos x^{3}-2 para escrever a função no formato (1-t)^{-2}. Observe:
x^{3}-2=-2\left(1-\frac{x^{3}}{2}\right),
logo
(x^{3}-2)^{2}=4\left(1-\frac{x^{3}}{2}\right)^{2}.
Portanto
f(x)=\frac{-3x^{2}}{4}\left(1-\frac{x^{3}}{2}\right)^{-2}.
Isto é útil porque conhecemos a série de potências de \left(1-t\right)^{-2}.

Passo 3

Fórmula padrão (explicação e prova rápida): para |t|<1 temos a série geométrica
\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^{n}.
Derivando termo a termo (válido para |t|<1) obtém-se
\frac{1}{(1-t)^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)t^{n}.
Aqui t é uma variável qualquer com |t|<1. Agora coloque t=\dfrac{x^{3}}{2}. Assim, para \left|\dfrac{x^{3}}{2}\right|<1 temos
\left(1-\frac{x^{3}}{2}\right)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\left(\frac{x^{3}}{2}\right)^{n}.

Passo 4

Multiplicando pela constante -\dfrac{3x^{2}}{4} da expressão de f obtemos a série de Taylor (em torno de 0):
f(x)=\frac{-3x^{2}}{4}\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\left(\frac{x^{3}}{2}\right)^{n}.
Podemos escrever explicitamente os termos:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\left[-\frac{3}{4}(n+1)2^{-n}\right]x^{3n+2}.
Ou simplificando o coeficiente:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\left[-3\cdot 2^{-(n+2)}(n+1)\right]x^{3n+2}.

Passo 5

Raio e intervalo de convergência: a condição usada foi \left|\dfrac{x^{3}}{2}\right|<1, isto é
|x|<\sqrt[3]{2}.
Portanto a série de potências tem raio de convergência R=\sqrt[3]{2} e converge uniformemente para f em cada intervalo fechado estritamente contido em \left(-\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2}\right). Importante: nos pontos extremos x=\pm\sqrt[3]{2} temos t=\pm1; avaliando os termos vemos que não se anula o termo geral, ou seja a sequência dos termos não tende a zero, logo a série diverge nesses extremos. Conclusão: a série converge exatamente para f em \left(-\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2}\right) (intervalo aberto), e NÃO converge para f em x=\sqrt[3]{2} (além disso f nem é definida nesse ponto porque o denominador zera).

Passo 6

Cálculo de f^{(92)}(0): a série de Taylor escrita como
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}x^{k}
tem a relação padrão entre coeficiente e derivada:
a_{k}=\frac{f^{(k)}(0)}{k!}.
Na nossa série só aparecem potências x^{3n+2}. Assim, para k=3n+2 temos
a_{3n+2}=-\frac{3}{4}(n+1)2^{-n}.
Queremos k=92. Resolva 3n+2=92 que dá n=30. Então
a_{92}=a_{3\cdot 30+2}=-\frac{3}{4}(30+1)2^{-30}=-\frac{93}{2^{32}}.
Logo
f^{(92)}(0)=92!\,a_{92}=92!\left(-\frac{93}{2^{32}}\right)=-\frac{93\cdot 92!}{2^{32}}=-\frac{93!}{2^{32}}.
(Dica rápida: 93\cdot 92!=93!.)

Passo 7

Comparação com as alternativas:
  • (b) dá o valor correto de f^{(92)}(0)=-\dfrac{93!}{2^{32}} mas está incorreta ao afirmar que a série converge para f em \left]-\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2}\right] (o extremo direito não pertence ao domínio da série nem de f); portanto (b) é falsa.
  • (e) e (c)/(d) têm valores de derivada diferentes do valor correto acima, e (c)/(d) também declaram intervalo ]-1,1[ que é um subconjunto onde a série converge, mas o valor da derivada está errado.
    Assim nenhuma das alternativas (b)-(e) está completamente correta.

Resposta

(a)

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