Determine a série de potência centrada em x0=0 que soluciona as EDO (1+x^2) y^prime prime+y=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução em série de potências centrada em x₀=0 da EDO (1+x²)y’’+y=0. Vamos usar o método de séries de potências: supor que y seja dada por uma soma infinita de termos aₙxⁿ e obter uma relação de recorrência para os coeficientes aₙ.

Passo 2

Assumimos y(x)=∑ₙ₌₀^∞ aₙxⁿ. Logo
y''(x)=sumn=0^infty n(n-1)an x^n-2

Passo 3

Substituindo em (1+x²)y’’+y=0:
(1+x^2)y''+y=sumn=0^infty n(n-1)an x^n-2+sumn=0^infty n(n-1)an x^n+sumn=0^infty an x^n=0

Passo 4

Reindexando o primeiro somatório (faça m=n-2 ⇒ n=m+2) e somando aos outros termos, agrupamos potências x^m:
(m+2)(m+1)am+2+[m(m-1)+1]am=0, m>=0

Passo 5

Daí vem a relação de recorrência
am+2=-m(m-1)+1(m+2)(m+1),am

Passo 6

Observe que mesmo m gera coeficientes para série par e ímpar para série ímpar. Isso dá duas soluções fundamentais – uma com a₀≠0 e a₁=0, outra com a₀=0 e a₁≠0.

Passo 7

Para caracterizar as duas soluções, basta escolher a₀=1, a₁=0 e a₀=0, a₁=1 e gerar termos:
Solução par (a₀=1):
a0=1, a2=-tfrac12, a4=tfrac18,;a6=-tfrac1cdot5+16·5a4=dots
Solução ímpar (a₁=1):
a1=1, a3=-tfrac16, a5=tfrac7120, etc

Resposta

A solução geral em série de potências fica:
y(x)=C1l(1-tfrac12x^2+tfrac18x^4-dotsr)+C2l(x-tfrac16x^3+tfrac7120x^5-dotsr),
onde os coeficientes satisfazem
an+2=-n(n-1)+1(n+2)(n+1),an

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