Determine a série de potência centrada em que soluciona as EDO
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução em série de potências centrada em x₀=0 da EDO (1+x²)y’’+y=0. Vamos usar o método de séries de potências: supor que y seja dada por uma soma infinita de termos aₙxⁿ e obter uma relação de recorrência para os coeficientes aₙ.
Passo 2
Assumimos y(x)=∑ₙ₌₀^∞ aₙxⁿ. Logo
Passo 3
Substituindo em (1+x²)y’’+y=0:
Passo 4
Reindexando o primeiro somatório (faça m=n-2 ⇒ n=m+2) e somando aos outros termos, agrupamos potências x^m:
Passo 5
Daí vem a relação de recorrência
Passo 6
Observe que mesmo m gera coeficientes para série par e ímpar para série ímpar. Isso dá duas soluções fundamentais – uma com a₀≠0 e a₁=0, outra com a₀=0 e a₁≠0.
Passo 7
Para caracterizar as duas soluções, basta escolher a₀=1, a₁=0 e a₀=0, a₁=1 e gerar termos: