O método de Frobenius para equações diferenciais consiste em encontrar soluções, também, em forma de séries de potências em torno de um ponto onde está definida a EDO
Este método é util para quando temos as funções e não são analíticas em , o que tipicamente ocorre quando esse ponto é singular, i. e., um ponto onde e dá problema.
Tomemos o seguinte exemplo para ilustrarmos o problema
é fácil notar que é um ponto singular. Agora assumiremos uma solução na forma
Tomemos as derivadas
Agora para ajustarmos os índices tomemos no primeiro termo de (analogo para ) e no segundo termo ( analogamente para ), de forma que podemos escrever as séries acima como
substituindo as séries acima na EDO e manipulando chegamos a seguinte equação
Igualando o coeficiente do primeiro termo a zero, onde assumimos , obtemos a chamada equação indicial
onde obtemos e . Agora assumimos que os
Agora o problema se divide em dois casos onde substituimos e no termo de recorrência onde obteremos os termos para duas soluções. De forma que a solução geral pelo método de Frobenius depende de duas funções L.I. e ,
onde é sempre dada por
equanto depende da relação entre e :
Agora é a sua vez, repita o processo acima para as EDOiii) x^2 y^prime prime-x y=0
Passo 1
Estamos resolvendo a EDO x²y’’ – x y = 0 pelo método de Frobenius em torno de x₀=0. Vamos assumir uma solução da forma y(x)=∑_{n=0}^∞ a_n x^{n+r}, encontrar a equação indicial e a recorrência dos coeficientes.
Passo 2
Derivamos y(x)=∑_{n=0}^∞ a_n x^{n+r},
y'(x)=sumn=0^infty (n+r)an x^n+r-1,
y''(x)=sumn=0^infty (n+r)(n+r-1)an x^n+r-2
Passo 3
Substituindo em x²y’’ – x y = 0:
x^2y''=sumn=0^infty (n+r)(n+r-1)an x^n+r,
x y=sumn=0^infty an x^n+r+1=sumn=1^infty an-1 x^n+r
Logo sumn=0^infty (n+r)(n+r-1)an x^n+r-sumn=1^infty an-1 x^n+r=0
Passo 4
Isolando o termo de menor potência (n=0) e o restante (n≥1) obtemos