O método de Frobenius para equações diferenciais consiste em encontrar soluções, também, em forma de séries de potências em torno de um ponto
x0 onde está definida a EDO
P(x) y^prime prime+Q(x) y^prime+R(X) y=0
Este método é util para quando temos as funções
Q(x) / P(x) e
R(x) / P(x) não são analíticas em
x0 , o que tipicamente ocorre quando esse ponto é singular, i. e., um ponto onde
Q(x) / P(x) e
R(x) / P(x) dá problema.
Tomemos o seguinte exemplo para ilustrarmos o problema
2 x y^prime prime+(x+1) y^prime-3 y=0
é fácil notar que
x0=0 é um ponto singular. Agora assumiremos uma solução na forma
y(x)=x^r sumn=0^infty an x^n=sumn=0^infty an x^n+r
Tomemos as derivadas
& y^prime(x)=sumn=0^infty(n+r) an x^n+r-1 Longrightarrow(x+1) y^prime=sumn=0^infty(n+r) an x^n+r+sumn=0^infty(n+r) an x^n+r-1 & y^prime prime(x)=sumn=0^infty(n+r)(n+r-1) an x^n+r-2 Longrightarrow 2 x y^prime prime=sumn=0^infty 2(n+r)(n+r-1) an x^n+r-1 & -3 y(x)=sumn=0^infty-3 an x^n+r
Agora para ajustarmos os índices tomemos
j-1=n no primeiro termo de
(x+1) y^prime (analogo para
-3 y ) e
j=n no segundo termo ( analogamente para
2 x y^prime prime ), de forma que podemos escrever as séries acima como
& (x+1) y^prime=r a0 x^r-1+sumj=1^infty[(j+r) aj x^j+r-1+(j+r-1) aj-1 x^j+r-1] & 2 x y^prime prime=r(r-1) a0 x^r-1 sumj=1^infty 2(j+r)(j+r-1) aj x^j+r-1 & -3 y(x)=sumj=1^infty-3 aj-1 x^j+r-1
substituindo as séries acima na EDO e manipulando chegamos a seguinte equação
r(2 r-1) a0 x^r-1+sumj=1^infty[(j+r)(2 j+2 r-1) aj+(j+r+2) aj-1] x^j+r-1=0
Igualando o coeficiente do primeiro termo a zero, onde assumimos
a0=1 , obtemos a chamada equação indicial
onde obtemos
r1=0 e
r2=12 . Agora assumimos que os
x
(j+r)(2 j+2 r-1) aj+(j+r+2) aj-1=0 Longrightarrow aj=-(j+r+2) aj-1(j+r)(2 j+2 r-1)
Agora o problema se divide em dois casos onde substituimos
r 1 e
r2 no termo de recorrência onde obteremos os termos para duas soluções. De forma que a solução geral pelo método de Frobenius depende de duas funções L.I.
y1 e
y2 ,
onde
y1 é sempre dada por
y1(x)=|x|^r1[1+sumn=0^infty an(r1) x^n]
equanto
y2 depende da relação entre
y1 e
y2 :
y2(x)=|x|^r2[1+sumn=0^infty an(r2) x^n], & se r1-r2 neq 0,1,2, cdots y1(x) ln |x|+|x|^r1 sumn=0^infty bn(r1) x^n, & se r1-r2=0 k y1(x) ln |x|+|x|^r2 sumn=0^infty cn(r2) x^n, & se r1-r2=1,2, cdots
Agora é a sua vez, repita o processo acima para as EDOiii)
x^2 y^prime prime-x y=0