Determine a série de potências centrada em e o intervalo de onvergência da série obtida da função .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a série de potências centrada em e o intervalo de convergência dessa série para a função:
Aqui, vamos usar conceitos de séries de potências e integração de séries term a termo. Vamos precisar conhecer a série de Taylor para e como integrá-la.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da série de Taylor da função centrada em :
No nosso caso, temos , então substituindo:
Passo 3
Agora, vamos substituir essa série na expressão de :
Podemos trocar a soma e a integral (desde que a série converja uniformemente):
Passo 4
Vamos calcular a integral . A antiderivada de é , então: