Determine a série de potências centrada em x0=0 e o intervalo de onvergência da série obtida da função F(x)=integral0^x ln (1+3 t)t d t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a série de potências centrada em x0 = 0 e o intervalo de convergência dessa série para a função:
F(x) = integral0^x ln(1 + 3t)t , dt
Aqui, vamos usar conceitos de séries de potências e integração de séries term a termo. Vamos precisar conhecer a série de Taylor para ln(1 + u) e como integrá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da série de Taylor da função ln(1 + u) centrada em u = 0 :
ln(1 + u) = sumn=1^infty (-1)^n+1 u^nn, para |u| < 1
No nosso caso, temos u = 3t , então substituindo:
ln(1 + 3t) = sumn=1^infty (-1)^n+1 (3t)^nn

Passo 3

Agora, vamos substituir essa série na expressão de F(x) :
F(x) = integral0^x ln(1 + 3t)t , dt = integral0^x 1t ( sumn=1^infty (-1)^n+1 (3t)^nn ) dt
Podemos trocar a soma e a integral (desde que a série converja uniformemente):
F(x) = sumn=1^infty (-1)^n+1 3^nn integral0^x t^n-1 , dt

Passo 4

Vamos calcular a integral integral0^x t^n-1 , dt . A antiderivada de t^n-1 é t^nn , então:
integral0^x t^n-1 , dt = t^nn |0^x = x^nn
Substituindo de volta na série:
F(x) = sumn=1^infty (-1)^n+1 3^nn cdot x^nn = sumn=1^infty (-1)^n+1 (3x)^nn^2

Passo 5

Então, a série de potências centrada em x0 = 0 para F(x) é:
F(x) = sumn=1^infty (-1)^n+1 (3x)^nn^2

Passo 6

Para encontrar o intervalo de convergência, vamos analisar a série:
sumn=1^infty (-1)^n+1 (3x)^nn^2
Esta é uma série alternada. Para verificar a convergência, usamos o Teste da Alternância e a Convergência Absoluta.
Primeiro, para a convergência absoluta, consideramos:
sumn=1^infty | (3x)^nn^2 | = sumn=1^infty |3x|^nn^2
Esta é uma série de potências sum an x^n com raio de convergência R . Usamos o Teste da Raiz:
limn to infty raiz[n]|3x|^nn^2 = |3x| cdot limn to infty 1n^2/n = |3x|
A série converge absolutamente quando |3x| < 1 , ou seja, |x| < 13 .
Para |x| = 13 , verificamos a convergência:
sumn=1^infty (-1)^n+1 (3 cdot 13)^nn^2 = sumn=1^infty (-1)^n+1 1n^2
Esta série converge por ser uma série alternada com termos decrescentes que tendem a zero.

Resposta

A série de potências centrada em x0 = 0 é:
F(x) = sumn=1^infty (-1)^n+1 (3x)^nn^2
E o intervalo de convergência é |x| <= 13 .

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