Considere a série sumn=0^infty an x^n em que a0=2, a1=-3 e an+2=an para todo n >= 0
a) Determine o raio de convergência da série.

Passo 1

Entendendo o Enunciado e os Conceitos Envolvidos
Vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita da forma:
sumn=0^infty an x^n
onde os coeficientes $ a_{n} $ são definidos por:
  • $ a_{0} = 2 $
  • $ a_{1} = -3 $
  • E, para todo $ n \geq 0 $, $ a_{n+2} = a_{n} $
Nosso objetivo é determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, precisamos entender como os coeficientes $ a_{n} $ se comportam e aplicar testes de convergência de séries de potências.

Passo 2

Encontrando a Expressão Geral dos Coeficientes $ a_{n} $
Dado que $ a_{n+2} = a_{n} $ para todo $ n \geq 0 $, isso significa que a sequência de coeficientes se repete a cada 2 termos. Vamos listar alguns termos para visualizar:
an
Então, percebemos que:
  • Para $ n $ par: $ a_{n} = 2 $
  • Para $ n $ ímpar: $ a_{n} = -3 $
Podemos expressar isso de forma geral como:
an+2 = an ééí

Passo 3

Reescrevendo a Série de Potências com a Expressão Geral de $ a_{n} $
Agora que sabemos como os coeficientes se comportam, vamos reescrever a série:
an
Substituindo os valores de $ a_{2k} $ e $ a_{2k+1} $:
sumn=0^infty an x^n = sumn=0^infty an x^n = sumk=0^infty a2k x^2k + sumk=0^infty a2k+1 x^2k+1

Passo 4

Identificando Séries Geométricas e Determinando a Convergência
As somas que encontramos são séries geométricas, que têm a forma:
sumk=0^infty r^k = 11 - r para |r| < 1
No nosso caso, $ r = x^{2} $. Portanto, cada série converge quando $ |x^{2}| < 1 $, ou seja, quando $ |x| < 1 $.
Assim, podemos reescrever a série original como:
r = x^2

Passo 5

Determinação do Raio de Convergência
Como as séries geométricas convergem quando $ |x| < 1 $, o raio de convergência $ R $ da nossa série de potências é:
|x| < 1

Resposta

O raio de convergência da série é $ R = 1 $.

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