Considere a série
em que
e
para todo
a) Determine o raio de convergência da série.
a) Determine o raio de convergência da série.
Passo 1
Entendendo o Enunciado e os Conceitos Envolvidos
Vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita da forma:
onde os coeficientes $ a_{n} $ são definidos por:
- $ a_{0} = 2 $
- $ a_{1} = -3 $
- E, para todo $ n \geq 0 $, $ a_{n+2} = a_{n} $
Nosso objetivo é determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, precisamos entender como os coeficientes $ a_{n} $ se comportam e aplicar testes de convergência de séries de potências.
Passo 2
Encontrando a Expressão Geral dos Coeficientes $ a_{n} $
Dado que $ a_{n+2} = a_{n} $ para todo $ n \geq 0 $, isso significa que a sequência de coeficientes se repete a cada 2 termos. Vamos listar alguns termos para visualizar:
Então, percebemos que:
- Para $ n $ par: $ a_{n} = 2 $
- Para $ n $ ímpar: $ a_{n} = -3 $
Podemos expressar isso de forma geral como:
Passo 3
Reescrevendo a Série de Potências com a Expressão Geral de $ a_{n} $
Agora que sabemos como os coeficientes se comportam, vamos reescrever a série:
Substituindo os valores de $ a_{2k} $ e $ a_{2k+1} $:
Passo 4
Identificando Séries Geométricas e Determinando a Convergência
As somas que encontramos são séries geométricas, que têm a forma:
No nosso caso, $ r = x^{2} $. Portanto, cada série converge quando $ |x^{2}| < 1 $, ou seja, quando $ |x| < 1 $.
Assim, podemos reescrever a série original como:
Passo 5
Determinação do Raio de Convergência
Como as séries geométricas convergem quando $ |x| < 1 $, o raio de convergência $ R $ da nossa série de potências é:
Resposta
O raio de convergência da série é $ R = 1 $.