Considere a série sumn=0^infty an x^n em que a0=2, a1=-3 e an+2=an para todo n >= 0
b) Para qual função essa série converge?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar para qual função a série sumn=0^infty an x^n converge, sabendo que a0=2, a1=-3 e an+2=an para todo n >= 0. A matéria envolvida aqui é séries de potências e progressões recorrentes. Vamos usar isso para descobrir a função que representa essa série.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como os coeficientes an se comportam. Sabemos que an+2 = an, então os coeficientes se repetem a cada 2 termos. Dado que a0 = 2 e a1 = -3, a sequência de an fica assim:
a0 = 2, a1 = -3, a2 = a0 = 2, a3 = a1 = -3, e assim por diante
Então, a sequência é: 2, -3, 2, -3, 2, -3, dots

Passo 3

Agora, vamos escrever a série usando esses coeficientes:
sumn=0^infty an x^n = 2 - 3x + 2x^2 - 3x^3 + 2x^4 - 3x^5 + dots

Passo 4

Perceba que podemos separar os termos pares e ímpares:
  • Termos pares (onde n é par): 2x^0 + 2x^2 + 2x^4 + dots
  • Termos ímpares (onde n é ímpar): -3x^1 - 3x^3 - 3x^5 - dots

Passo 5

Vamos fatorar os coeficientes comuns em cada sequência:
2(1 + x^2 + x^4 + dots) - 3x(1 + x^2 + x^4 + dots)

Passo 6

Observamos que 1 + x^2 + x^4 + dots é uma série geométrica com razão x^2. Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita é dada por:
sumk=0^infty r^k = 11 - r, para |r| < 1
Aqui, r = x^2, então:
1 + x^2 + x^4 + dots = 11 - x^2, para |x| < 1

Passo 7

Substituindo de volta na expressão da série:
2 cdot 11 - x^2 - 3x cdot 11 - x^2 = 2 - 3x1 - x^2

Resposta

A série sumn=0^infty an x^n converge para a função f(x) = 2 - 3x1 - x^2, válida para |x| < 1.

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