Considere a série
em que
e
para todo
b) Para qual função essa série converge?
b) Para qual função essa série converge?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar para qual função a série
converge, sabendo que
,
e
para todo
. A matéria envolvida aqui é séries de potências e progressões recorrentes. Vamos usar isso para descobrir a função que representa essa série.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como os coeficientes
se comportam. Sabemos que
, então os coeficientes se repetem a cada 2 termos. Dado que
e
, a sequência de
fica assim:
Então, a sequência é:
Passo 3
Agora, vamos escrever a série usando esses coeficientes:
Passo 4
Perceba que podemos separar os termos pares e ímpares:
- Termos pares (onde
é par): - Termos ímpares (onde
é ímpar):
Passo 5
Vamos fatorar os coeficientes comuns em cada sequência:
Passo 6
Observamos que
é uma série geométrica com razão
. Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita é dada por:
Aqui,
, então:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão da série:
Resposta
A série
converge para a função
, válida para
.