Determine a série de potências para a função f(x)=integral0^x e^-t^2-1t d t.

Passo 1

O enunciado pede a série de potências de
f(x)=integral0^xe^-t^2-1t,dt
O conteúdo principal é usar a expansão em série de Taylor de e^-t^2 e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro escrevemos a expansão de e^-t^2. Sabemos que
e^u=sumn=0^inftyu^nn!,
então basta tomar u=-t^2 para obter
e^-t^2 =sumn=0^infty(-t^2)^nn! =sumn=0^infty(-1)^n,t^2nn!

Passo 3

Para a integranda consideramos
e^-t^2-1 =sumn=0^infty(-1)^nt^2nn!-1 =sumn=1^infty(-1)^nt^2nn!
Dividindo por t temos
e^-t^2-1t =sumn=1^infty(-1)^nt^2n-1n!

Passo 4

Agora integramos termo a termo de 0 até x:
integral0^xt^2n-1,dt =x^2n2n
Logo
f(x) =integral0^xe^-t^2-1t,dt =sumn=1^infty(-1)^nn!,x^2n2n =sumn=1^infty(-1)^n,x^2n2n,n!

Passo 5

A série
sumn=1^infty(-1)^n,x^2n2n,n!
tem raio de convergência infinito (pois decorre de e^-t^2), então é válida para todo xinR.

Resposta

f(x)=sumn=1^infty(-1)^n,x^2n2n,n! l(válido para todo xr) á

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