Determine se a série
é Absolutamente Convergente, Condicionalmente Convergente ou Divergente, justificando todos os detalhes.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando todos os detalhes.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- O termo geral é
. - A presença de
indica alternância de sinais. - Precisamos analisar a convergência da série original e também da série dos valores absolutos
.
Passo 2
Definição e estratégia: uma série é absolutamente convergente se a soma dos módulos dos termos converge. Portanto, primeiro verifico a série de termos positivos
Vou testar a convergência dessa série positiva usando o Teste da Integral (justifico que a função associada é apropriada) e mostrar que essa série diverge, o que implica que a série original não é absolutamente convergente.
Construo a função contínua correspondente:
que é positiva para
. Preciso também que
seja decrescente em um intervalo
para aplicar o teste da integral; calculo a derivada para verificar isso:
Da expressão acima, vemos que
sempre que
, isto é, quando
ou
. Portanto
é decrescente para
(por exemplo, para
já é decrescente). Assim as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas (função positiva, contínua e decrescente a partir de algum ponto).
Agora aplico o teste da integral: estudo a integral imprópria
Faço a substituição
, assim
,
e
. Portanto
Integro:
Voltando a
(lembre que
), obtemos uma primitiva
Agora avalio o limite na integral imprópria:
Como
quando
, segue que a integral diverge para
. Pelo teste da integral, a série
diverge. Conclusão: a série dos valores absolutos diverge, logo a série original não é absolutamente convergente.
Passo 3
Teste de convergência alternada (Teste de Leibniz): agora verifico se a série alternada
converge condicionalmente. O Teste de Leibniz diz que se
,
é monotonicamente decrescente a partir de algum índice e
, então a série alternada converge.
Mostro primeiro que
. Considere a função contínua
. Para
aplico a regra de L’Hôpital (escrevendo
). Derivando numerador e denominador uma vez:
Portanto
.
Já mostramos no Passo 2 que
é decrescente para
suficientemente grande (por exemplo para
), porque
quando
. Assim existem
tal que
é decrescente para
. Como as condições do Teste de Leibniz são satisfeitas, a série alternada
converge.
Passo 4
Conclusão combinando os fatos:
- A série dos módulos
diverge (do Passo 2), portanto a série dada não é absolutamente convergente. - A série alternada converge (do Passo 3). Assim a série converge, mas não absolutamente.
Interpretação final: a convergência é condicional — a série converge por alternância, mas os termos em módulo formam uma série divergente.
Resposta
Condicionalmente convergente.