Determine se a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \ln n}{\sqrt{n}} é Absolutamente Convergente, Condicionalmente Convergente ou Divergente, justificando todos os detalhes.

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\ln n}{\sqrt{n}}
e pede para determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando todos os detalhes.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • O termo geral é \displaystyle a_n=\frac{(-1)^{n}\ln n}{\sqrt{n}}.
  • A presença de (-1)^n indica alternância de sinais.
  • Precisamos analisar a convergência da série original e também da série dos valores absolutos \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_n\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{\sqrt{n}}.

Passo 2

Definição e estratégia: uma série é absolutamente convergente se a soma dos módulos dos termos converge. Portanto, primeiro verifico a série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{\sqrt{n}}.
Vou testar a convergência dessa série positiva usando o Teste da Integral (justifico que a função associada é apropriada) e mostrar que essa série diverge, o que implica que a série original não é absolutamente convergente.
Construo a função contínua correspondente:
f(x)=\frac{\ln x}{\sqrt{x}},\qquad x\ge 2,
que é positiva para x\ge 2. Preciso também que f seja decrescente em um intervalo [N,\infty) para aplicar o teste da integral; calculo a derivada para verificar isso:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1/2}\ln x\bigr)=x^{-3/2}\Bigl(1-\tfrac{1}{2}\ln x\Bigr).
Da expressão acima, vemos que f'(x)<0 sempre que 1-\tfrac{1}{2}\ln x<0, isto é, quando \ln x>2 ou x>e^{2}. Portanto f é decrescente para x>e^{2} (por exemplo, para x\ge 8 já é decrescente). Assim as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas (função positiva, contínua e decrescente a partir de algum ponto).
Agora aplico o teste da integral: estudo a integral imprópria
\int_{2}^{\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx.
Faço a substituição x=t^{2}, assim dx=2t\,dt, \ln x=2\ln t e \sqrt{x}=t. Portanto
\int \frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx =\int \frac{2\ln t}{t}\cdot 2t\,dt =\int 4\ln t\,dt.
Integro:
\int 4\ln t\,dt=4\bigl(t\ln t-t\bigr)+C.
Voltando a x (lembre que t=\sqrt{x}), obtemos uma primitiva
F(x)=4\bigl(\sqrt{x}\ln\sqrt{x}-\sqrt{x}\bigr)+C.
Agora avalio o limite na integral imprópria:
\lim_{R\to\infty}\int_{2}^{R}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx =\lim_{R\to\infty}\bigl(F(R)-F(2)\bigr).
Como \sqrt{R}\ln\sqrt{R}\to\infty quando R\to\infty, segue que a integral diverge para +\infty. Pelo teste da integral, a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{\sqrt{n}}
diverge. Conclusão: a série dos valores absolutos diverge, logo a série original não é absolutamente convergente.

Passo 3

Teste de convergência alternada (Teste de Leibniz): agora verifico se a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}b_n,\qquad b_n=\frac{\ln n}{\sqrt{n}},
converge condicionalmente. O Teste de Leibniz diz que se b_n\ge 0, b_n é monotonicamente decrescente a partir de algum índice e \lim_{n\to\infty}b_n=0, então a série alternada converge.
Mostro primeiro que \lim_{n\to\infty}b_n=0. Considere a função contínua g(x)=\frac{\ln x}{\sqrt{x}}. Para x\to\infty aplico a regra de L’Hôpital (escrevendo g(x)=\dfrac{\ln x}{x^{1/2}}). Derivando numerador e denominador uma vez:
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x^{1/2}} =\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{\tfrac{1}{2}x^{-1/2}} =\lim_{x\to\infty}2x^{-1/2}=0.
Portanto \lim_{n\to\infty}b_n=0.
Já mostramos no Passo 2 que b_n é decrescente para n suficientemente grande (por exemplo para n\ge 8), porque f'(x)<0 quando x>e^{2}. Assim existem N tal que b_{n} é decrescente para n\ge N. Como as condições do Teste de Leibniz são satisfeitas, a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\ln n}{\sqrt{n}}
converge.

Passo 4

Conclusão combinando os fatos:
  • A série dos módulos \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{\sqrt{n}} diverge (do Passo 2), portanto a série dada não é absolutamente convergente.
  • A série alternada converge (do Passo 3). Assim a série converge, mas não absolutamente.
Interpretação final: a convergência é condicional — a série converge por alternância, mas os termos em módulo formam uma série divergente.

Resposta

Condicionalmente convergente.

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