Determine se a série
) converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
converge ou diverge. Informação dada: o termo geral da série é
Pergunta a responder: a série
é convergente ou divergente?
Passo 2
Estratégia (aqui só identificamos o que vamos precisar): para testar convergência de uma série, um passo inicial e básico é verificar o limite do termo geral
quando
. Há um teste simples e muito usado:
Se
(ou não existe), então a série
diverge. Esse é o chamado teste da divergência (ou teste do termo geral). Portanto precisamos calcular
Passo 3
Reescrevemos
de forma conveniente. Note que
Defina
. Então
quando
e podemos escrever
Agora separamos um fator:
Passo 4
Usamos um limite padrão ligado à definição do número
: para qualquer constante
vale
Tomando
obtemos
Uma justificativa curta desse fato: aplicar logaritmo natural e usar
quando
, pois
portanto o exponencial do limite é
.
Passo 5
Voltando à expressão de
em função de
, tomamos limites:
Portanto
Passo 6
Aplicamos o teste da divergência: como o termo geral
não tende a zero (tende a
), a série
não pode convergir. Intuição: para uma soma infinita ter chance de convergir, os incrementos
têm que ficar cada vez menores e tender a zero; aqui eles tendem a uma constante positiva, então os somatórios acumulam em algo que cresce sem limite.
Resposta
A série diverge.