Determine se a série \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}) converge ou diverge.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}
converge ou diverge. Informação dada: o termo geral da série é
a_n=\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}.
Pergunta a responder: a série \sum_{n=1}^{\infty}a_n é convergente ou divergente?

Passo 2

Estratégia (aqui só identificamos o que vamos precisar): para testar convergência de uma série, um passo inicial e básico é verificar o limite do termo geral a_n quando n\to\infty. Há um teste simples e muito usado:
Se \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 (ou não existe), então a série \sum a_n diverge. Esse é o chamado teste da divergência (ou teste do termo geral). Portanto precisamos calcular
\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}.

Passo 3

Reescrevemos a_n de forma conveniente. Note que
\frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}.
Defina m=n+1. Então m\to\infty quando n\to\infty e podemos escrever
a_n=\left(1-\frac{1}{m}\right)^{m-1}.
Agora separamos um fator:
\left(1-\frac{1}{m}\right)^{m-1} = \frac{\left(1-\frac{1}{m}\right)^{m}}{1-\frac{1}{m}}.

Passo 4

Usamos um limite padrão ligado à definição do número e: para qualquer constante x vale
\lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{x}{k}\right)^{k}=e^{x}.
Tomando x=-1 obtemos
\lim_{m\to\infty}\left(1-\frac{1}{m}\right)^{m}=e^{-1}.
Uma justificativa curta desse fato: aplicar logaritmo natural e usar \ln(1+y)\sim y quando y\to0, pois
\ln\!\left(1+\frac{x}{k}\right)^{k}=k\ln\!\left(1+\frac{x}{k}\right)\sim k\cdot\frac{x}{k}=x,
portanto o exponencial do limite é e^{x}.

Passo 5

Voltando à expressão de a_n em função de m, tomamos limites:
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{m\to\infty}\frac{\left(1-\frac{1}{m}\right)^{m}}{1-\frac{1}{m}} = \frac{\displaystyle\lim_{m\to\infty}\left(1-\frac{1}{m}\right)^{m}}{\displaystyle\lim_{m\to\infty}\left(1-\frac{1}{m}\right)} = \frac{e^{-1}}{1}=e^{-1}.
Portanto
\lim_{n\to\infty} a_n = e^{-1}\neq 0.

Passo 6

Aplicamos o teste da divergência: como o termo geral a_n não tende a zero (tende a \;e^{-1}), a série
\sum_{n=1}^{\infty} a_n
não pode convergir. Intuição: para uma soma infinita ter chance de convergir, os incrementos a_n têm que ficar cada vez menores e tender a zero; aqui eles tendem a uma constante positiva, então os somatórios acumulam em algo que cresce sem limite.

Resposta

A série diverge.

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