Para quais valores de k a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{k^{n}}{n!}) converge?

Passo 1

O enunciado pede: determinar para quais valores de k a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{k^{n}}{n!}
converge. Informação dada: o termo geral da série é \displaystyle a_n=\frac{k^n}{n!}. Não há mais restrições no enunciado (assumimos k real). A pergunta é única: encontrar o conjunto de valores de k para os quais a soma infinita converge.

Passo 2

Escolhendo um teste de convergência: aqui aparece um fatorial (n!) no denominador e uma potência k^n no numerador. Um teste simples e apropriado para lidar com fatorial contra potência é o teste da razão (também chamado de teste de d’Alembert). Vou explicar o teste com calma.
Enunciado do teste da razão (explicado):
Seja (a_n) uma sequência de termos de uma série. Definimos
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
  • Se L<1, então a série \sum a_n converge absolutamente (portanto converge).
  • Se L>1, então a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo (precisa de outro método).
Aqui, a_n=\dfrac{k^n}{n!}. Vou calcular L e aplicar o teste. (Explicando as letras: a_n é o n-ésimo termo da série; |\cdot| é valor absoluto; o limite L é um número que nos diz se os termos estão decrescendo rápido o suficiente.)

Passo 3

Calcular a razão entre termos consecutivos:
a_{n+1}=\frac{k^{\,n+1}}{(n+1)!}.
Logo
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left|\frac{\dfrac{k^{\,n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{k^{n}}{n!}}\right| = \left|\frac{k^{\,n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{k^n}\right| = \left|\frac{k}{n+1}\right| = \frac{|k|}{n+1}.

Passo 4

Calcular o limite L:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{|k|}{n+1}.
Como n+1\to\infty, temos
L=0.
Note que 0<1. Pelo teste da razão, se L<1 a série converge absolutamente. Portanto a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{k^n}{n!} converge (absolutamente) para qualquer valor real de k.

Passo 5

Interpretação intuitiva e reforço: o resultado mostra que o crescimento de n! (fatorial) é muito mais rápido que o crescimento de k^n quando n\to\infty. Mesmo que k seja grande, ao dividir por n! os termos vão a zero muito rapidamente, e a soma infinita converge. Quando a série converge absolutamente, ela converge independente do sinal de k.

Passo 6

Resultado adicional (útil na prova): a série inteira (incluindo o termo n=0) é a série exponencial. Definindo
e^{k}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{k^{n}}{n!},
temos, portanto,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{k^{n}}{n!}=e^{k}-1,
o que confirma também a convergência para todo k. (Aqui usei a definição da função exponencial via série de potências, cuja convergência para todo k também segue do teste da razão.)

Resposta

\text{Converge para todo }k\in\mathbb{R}.

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