Verifique a convergência das séries usando os testes da série alternada, teste da razão e teste da raiz:
sumn=1^infty(-1)^n+1 3^nn^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a série
sumn=1^infty(-1)^n+1 3^nn^2
converge ou não, usando três testes: o da série alternada, o teste da razão e o teste da raiz. Para isso, vamos precisar entender como cada um desses testes funciona e aplicá-los passo a passo na nossa série.

Passo 2

Teste da Série Alternada
Esse teste é específico para séries cujos termos alternam sinais, como é o caso da nossa série. Para aplicar esse teste, temos que verificar duas coisas:
  1. Os termos positivos limn to infty 3^nn^2 = infty devem ser decrescentes.
  2. O limite de quando vai para o infinito deve ser zero.
Vamos analisar:
  1. Decréscimo dos termos: Observando , vemos que o numerador cresce exponencialmente enquanto o denominador cresce polynomialmente. Na verdade, cresce muito mais rápido, então não é decrescente.
  2. Limite dos termos: Calculando o limite:
    Já que o limite não é zero, a série não atende aos critérios do teste da série alternada para convergência.

Passo 3

Teste da Razão
Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de séries com termos positivos ou alternados. A gente calcula o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se an = (-1)^n+1 3^nn^2 , a série converge; se | an+1an | = 3^n+1(n+1)^2 cdot n^23^n = 3 cdot ( nn+1 )^2 , diverge; se L = 3 cdot limn to infty ( nn+1 )^2 = 3 cdot 1 = 3 , o teste é inconclusivo.
Vamos calcular para nossa série:
Ignorando o sinal alternado:
Calculando o limite:
Como , a série diverge pelo teste da razão.

Passo 4

Teste da Raiz
Nesse teste, a gente calcula:
L = limn to infty raiz[n]|an|
Se |an| = 3^nn^2 , a série converge; se raiz[n]|an| = 3n^2/n , diverge; se L = limn to infty 31 = 3 , o teste não dá uma conclusão.
Vamos aplicar na nossa série:
Então:
Note que , e , então .
Portanto:
Como , a série diverge pelo teste da raiz.

Resposta

A série não converge de acordo com o teste da série alternada e diverge tanto pelo teste da razão quanto pelo teste da raiz.

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