Determine se a serie
converge ou diverge?
Passo 1
Beleza, temos que analisar se a série infinita
converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries numéricas e aplicar testes de convergência para descobrir isso.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o termo geral da série, que é
. Nosso objetivo é entender se a soma desses termos vai somar a um número finito (convergir) ou ficar sem fim (divergir).
Passo 3
Uma ferramenta útil para séries com termos complicados como esse é o Teste da Raiz. Esse teste ajuda a determinar a convergência examinando o limite da raiz enésima do termo geral da série.
Passo 4
Vamos aplicar o Teste da Raiz calculando:
Passo 5
Agora, precisamos avaliar o limite
. Sabemos que
(fatorial de n) cresce muito rápido, até mais rápido que
. De fato, usando a Fórmula de Stirling, podemos aproximar que
é aproximadamente
, mas de forma simplificada, sabemos que
cresce mais rápido que
, então
tende a infinito conforme
cresce.
Passo 6
Como o limite
é infinito, que é maior que 1, pelo Teste da Raiz, a série diverge. Ou seja, a soma dos termos não vai chegar a um número finito.
Resposta
A série diverge.