Determine se a serie
sumn=1^infty (n!)^nn^n^2
converge ou diverge?

Passo 1

Beleza, temos que analisar se a série infinita
sumn=1^infty (n!)^nn^n^2
converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries numéricas e aplicar testes de convergência para descobrir isso.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o termo geral da série, que é . Nosso objetivo é entender se a soma desses termos vai somar a um número finito (convergir) ou ficar sem fim (divergir).

Passo 3

Uma ferramenta útil para séries com termos complicados como esse é o Teste da Raiz. Esse teste ajuda a determinar a convergência examinando o limite da raiz enésima do termo geral da série.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Raiz calculando:
L = limn to infty raiz[n]an = limn to infty raiz[n](n!)^nn^n^2 = limn to infty n!n^n

Passo 5

Agora, precisamos avaliar o limite . Sabemos que (fatorial de n) cresce muito rápido, até mais rápido que . De fato, usando a Fórmula de Stirling, podemos aproximar que é aproximadamente , mas de forma simplificada, sabemos que cresce mais rápido que , então tende a infinito conforme cresce.

Passo 6

Como o limite é infinito, que é maior que 1, pelo Teste da Raiz, a série diverge. Ou seja, a soma dos termos não vai chegar a um número finito.

Resposta

A série diverge.

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