Determine se a serie
sumn=1^infty n^1 / nn^2 y
converge ou diverge?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a série , e o desafio é descobrir se essa série converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de séries numéricas e testes de convergência, que nos ajudam a entender o comportamento das séries à medida que cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Observamos que temos n^1/nn^2 = 1n^2 - 1/n dividido por . Podemos reescrever isso como:

Passo 3

Agora, precisamos analisar o termo limn to infty n^1/n = 1 . Sabemos que:
Isso porque tende a zero conforme aumenta, e qualquer número elevado a zero é 1.

Passo 4

Com isso, a expressão se aproxima de quando é grande. Ou seja, a nossa série se comporta de forma semelhante à série .

Passo 5

Sabemos que a série converge se . No nosso caso, , que é maior que 1. Portanto, a série converge.

Passo 6

Como a nossa série original se comporta de maneira similar a uma série que converge, podemos concluir que ela também converge.

Resposta

A série converge.

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