Determine se a serie
converge ou diverge?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a série
, e o desafio é descobrir se essa série converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de séries numéricas e testes de convergência, que nos ajudam a entender o comportamento das séries à medida que
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Observamos que temos
dividido por
. Podemos reescrever isso como:
Passo 3
Agora, precisamos analisar o termo
. Sabemos que:
Isso porque
tende a zero conforme
aumenta, e qualquer número elevado a zero é 1.
Passo 4
Com isso, a expressão
se aproxima de
quando
é grande. Ou seja, a nossa série se comporta de forma semelhante à série
.
Passo 5
Sabemos que a série
converge se
. No nosso caso,
, que é maior que 1. Portanto, a série
converge.
Passo 6
Como a nossa série original
se comporta de maneira similar a uma série que converge, podemos concluir que ela também converge.
Resposta
A série
converge.